С каждой стороны квадратного ковра отрезали полосу шириной 1 метр. При этом площадь ковра уменьшилась на 44 квадратных метра. Найдите длину стороны исходного ковра и выразите её в метрах.
Ответ: 12 метров.
Пусть сторона исходного квадратного ковра равна \(x\) метров.
С каждой стороны отрезали по 1 м, значит с обеих противоположных сторон убрали по 1 м, и сторона оставшегося квадрата стала:
\[ x-2 \]
Площадь уменьшилась на 44 м², поэтому:
\[ x^2-(x-2)^2=44 \]
Раскрываем разность квадратов:
\[ x^2-(x^2-4x+4)=44 \]
\[ 4x-4=44 \]
\[ 4x=48 \]
\[ x=12 \]
Проверка: исходная площадь \(12^2=144\) м², оставшийся ковёр имеет сторону \(10\) м и площадь \(100\) м². Уменьшение:
\[ 144-100=44 \]
Всё сходится. Длина стороны исходного ковра — 12 м.
Обсуждение
5 сообщенийВ равнобедренном треугольнике угол между биссектрисой и стороной, к которой она проведена, равен 75°. Чему может быть равен угол этого треугольника? Отметьте все подходящие варианты.
Подходящие значения углов: \(40^\circ,\ 50^\circ,\ 70^\circ,\ 80^\circ\).
Пусть \(AD\) — биссектриса угла \(A\), проведённая к стороне \(BC\), и
\[
\angle ADB=75^\circ.
\]
Обозначим \(\angle A=\alpha\). Тогда \(\angle BAD=\frac{\alpha}{2}\).
В треугольнике \(ABD\): \[ \angle B=180^\circ-75^\circ-\frac{\alpha}{2} =105^\circ-\frac{\alpha}{2}. \]
Тогда \[ \angle C=180^\circ-\alpha-\angle B =75^\circ-\frac{\alpha}{2}. \]
Треугольник равнобедренный, значит два его угла равны.
Если \(\angle A=\angle B\): \[ \alpha=105^\circ-\frac{\alpha}{2} \Rightarrow \alpha=70^\circ. \] Получаем углы: \[ 70^\circ,\ 70^\circ,\ 40^\circ. \]
Если \(\angle A=\angle C\): \[ \alpha=75^\circ-\frac{\alpha}{2} \Rightarrow \alpha=50^\circ. \] Получаем углы: \[ 50^\circ,\ 50^\circ,\ 80^\circ. \]
Случай \(\angle B=\angle C\) невозможен.
Значит, угол треугольника может быть равен:
\[ \boxed{40^\circ,\ 50^\circ,\ 70^\circ,\ 80^\circ} \]
Если в задании даны варианты ответа, нужно отметить все эти четыре значения.
Кирилл выписывает целые числа, начиная с нуля и пропуская все числа, в которых есть хотя бы одна нечётная цифра. Какое число он напишет сорок вторым?
Кирилл выписывает целые числа, начиная с нуля и пропуская все числа, в которых есть хотя бы одна нечётная цифра. Какое число он напишет сорок вторым?
Ответ: \(262\).
Числа разрешены только с чётными цифрами: \(0,2,4,6,8\).
Считаем:
- Однозначных подходящих чисел:
\[ 0,2,4,6,8 \quad — \ 5 \text{ чисел}. \] - Двузначных: первую цифру можно выбрать из \(2,4,6,8\) — 4 способа, вторую из \(0,2,4,6,8\) — 5 способов.
\[ 4\cdot 5=20 \] Всего с нулём и двузначными: \[ 5+20=25 \]
Значит, 42-е число будет \(42-25=17\)-м среди трёхзначных.
Первые трёхзначные подходящие числа начинаются с 200. В группе \(200,202,\dots,208\) — 5 чисел, затем \(220,\dots,228\) — ещё 5, затем \(240,\dots,248\) — ещё 5. Итого 15 чисел.
Остаются:
- 16-е: \(260\)
- 17-е: \(262\)
Следовательно, Кирилл напишет сорок вторым число:
\[ \boxed{262} \]
