Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(\boxed{\dfrac{49}{16}}\) — это \(3\frac{1}{16}\), или \(3{,}0625\).
Я читаю первую степень так: \(81^{\frac14-\frac12\log_9 4}\), то есть весь минус стоит в показателе. Если в тетради минус записан отдельно, скажи — тогда выражение другое.
1. Упрощаем первую степень
\[ 81^{\frac14-\frac12\log_9 4} = \frac{81^{1/4}}{81^{\frac12\log_9 4}}. \]
Так как \(81=3^4\), то
\[ 81^{1/4}=3. \]
А поскольку \(81=9^2\),
\[ 81^{\frac12\log_9 4} = (9^2)^{\frac12\log_9 4} = 9^{\log_9 4} = 4. \]
Значит,
\[ 81^{\frac14-\frac12\log_9 4}=\frac34. \]
2. Упрощаем вторую степень
\[ 25^{\log_{1/5}8}. \]
Так как \(\frac15=5^{-1}\),
\[ \log_{1/5}8=-\log_5 8. \]
Тогда
\[ 25^{-\log_5 8} = (5^2)^{-\log_5 8} = 5^{-2\log_5 8} = 8^{-2} = \frac1{64}. \]
3. Складываем внутри скобок
\[ \frac34+\frac1{64} = \frac{48}{64}+\frac1{64} = \frac{49}{64}. \]
4. Упрощаем последний множитель
\[ 49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 2^2 = 4. \]
5. Перемножаем
\[ \frac{49}{64}\cdot4 = \frac{49}{16}. \]
Главный принцип: степени с логарифмами удобно приводить к одному основанию и использовать формулу
\[ a^{\log_a b}=b. \]
Обсуждение
2 сообщенияКак записать в тетрадь
Запиши в тетрадь так:
\[ \left(81^{\frac14-\frac12\log_9 4}+25^{\log_{1/5}8}\right)\cdot 49^{\log_7 2} \]
Решение:
\[ 81^{\frac14-\frac12\log_9 4} = \frac{81^{1/4}}{81^{\frac12\log_9 4}} = \frac{3}{4}, \]
так как
\[ 81^{1/4}=(3^4)^{1/4}=3, \]
\[ 81^{\frac12\log_9 4} = (9^2)^{\frac12\log_9 4} = 9^{\log_9 4} = 4. \]
Далее:
\[ 25^{\log_{1/5}8} = 25^{-\log_5 8} = (5^2)^{-\log_5 8} = 5^{-2\log_5 8} = 8^{-2} = \frac1{64}. \]
Складываем:
\[ \frac34+\frac1{64} = \frac{48}{64}+\frac1{64} = \frac{49}{64}. \]
Теперь последний множитель:
\[ 49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 2^2 = 4. \]
Значит:
\[ \frac{49}{64}\cdot4 = \frac{49}{16} = 3\frac1{16}. \]
Ответ: \(\boxed{\frac{49}{16}=3\frac1{16}}\).
