Шестеро гномов устроили турнир по тавлеям. В первый день они разбились на пары и каждая пара сыграла одну партию. На следующий день им нужно разбиться на пары так, чтобы никто не…

Краткий ответ: 8 способами.

Обозначим пары первого дня так:

\[ (1,2),\quad (3,4),\quad (5,6) \]

Именно эти пары на второй день повторять нельзя.

1. Поставим гнома 1 в пару. Он не может играть с гномом 2, поэтому у него есть 4 варианта:
   \[ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]

2. Пусть, например, гном 1 играет с гномом 3. Остались гномы \(2,4,5,6\). Их можно разбить на пары тремя способами: \[ (2,4)(5,6),\quad (2,5)(4,6),\quad (2,6)(4,5) \] Первый способ запрещён, потому что \(5\) и \(6\) уже играли в первый день. Значит, подходят только 2 способа.

3. Для каждого из 4 вариантов пары с гномом 1 получается ровно 2 подходящих разбиения остальных. Поэтому: \[ 4\cdot 2=8 \]

Проверка: всего разбиений шести гномов на пары

\[ 5!!=1\cdot3\cdot5=15 \]

Но нужно исключить варианты, где повторяется хотя бы одна старая пара. Подсчёт даёт \(15-7=8\) подходящих разбиений.

\[ \boxed{8} \]

Ответ: 8 способов.