Найдите все трёхзначные числа, делящиеся на 77, чья сумма цифр равна 10.

Ответ: только одно число — \(\boxed{154}\).

Как найти:

Пусть трёхзначное число имеет вид
\[ \overline{abc}=100a+10b+c, \] где \(a\ne 0\), а сумма цифр \[ a+b+c=10. \]

Число должно делиться на \(77=7\cdot 11\), значит, оно делится и на \(11\), и на \(7\).

1. Применим признак делимости на 11.
   Число \(\overline{abc}\) делится на \(11\), если \[ a-b+c \] делится на \(11\).

   Из \(a+b+c=10\) следует \(b=10-a-c\). Тогда \[ a-b+c=a-(10-a-c)+c=2(a+c)-10. \] Так как \(a,b,c\) — цифры, это выражение может быть кратно \(11\) только при \[ 2(a+c)-10=0, \] откуда \[ a+c=5,\qquad b=5. \]

2. Учтём делимость на 7.
   Число теперь имеет вид \[ \overline{a5c}=100a+50+c. \] Поскольку \(a+c=5\), то \(c=5-a\), значит: \[ 100a+50+c=100a+50+(5-a)=99a+55. \] Нужно, чтобы это делилось на \(7\): \[ 99a+55\equiv a+6 \pmod 7. \] Значит, \[ a+6\equiv0\pmod7 \quad\Rightarrow\quad a\equiv1\pmod7. \] Так как \(a\) — цифра и \(a+c=5\), подходит только \[ a=1. \] Тогда \[ c=5-1=4,\qquad b=5. \]

Получаем число \[ 154. \]

Проверка: \[ 1+5+4=10,\qquad 154:77=2. \]

Всё сходится. Ответ: \(\boxed{154}\).