Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(\displaystyle \frac{4a}{5b^3}\), где \(a\ne0,\ b\ne0\)
- \(\displaystyle \frac{3b+2}{b(b-1)}\), где \(b\ne0,\ b\ne1\)
- \(\displaystyle \frac{3}{2}pq^2\), где \(p\ne0,\ q\ne0\)
- \(\displaystyle \frac{y^2+9}{y(y+3)}\), где \(y\ne0,\ y\ne-3\)
- \(\displaystyle \frac{2}{11}\)
- Иррациональны \(\sqrt{50}\) и \(\pi\). Числа \(\sqrt{49}=7\) и \(3{,}141=\frac{3141}{1000}\) рациональны.
- \(2\sqrt5\)
Как решать
1. Сокращение дроби
\[ \frac{20a^4b^3}{25a^3b^6} =\frac{20}{25}\cdot a^{4-3}\cdot b^{3-6} =\frac45\cdot a\cdot b^{-3} =\frac{4a}{5b^3} \]
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
2. Вычитание дробей
Общий знаменатель: \(b(b-1)\).
\[ \frac{5}{b-1}-\frac{2}{b} = \frac{5b}{b(b-1)}-\frac{2(b-1)}{b(b-1)} = \frac{5b-2b+2}{b(b-1)} = \frac{3b+2}{b(b-1)} \]
Проверка при \(b=2\):
\[ \frac51-\frac22=5-1=4, \qquad \frac{3\cdot2+2}{2(2-1)}=\frac82=4. \]
3. Деление дробей
Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:
\[ \frac{9p^2}{4q}:\frac{3p}{2q^3} = \frac{9p^2}{4q}\cdot\frac{2q^3}{3p} = \frac{18p^2q^3}{12pq} = \frac32pq^2 \]
Сокращаем числа \(18\) и \(12\), затем степени \(p\) и \(q\).
4. Упрощение рационального выражения
Заметим, что
\[ y^2+3y=y(y+3). \]
Общий знаменатель: \(y(y+3)\).
\[ \frac{y}{y+3}+\frac{9}{y^2+3y} = \frac{y}{y+3}+\frac{9}{y(y+3)} = \frac{y^2}{y(y+3)}+\frac{9}{y(y+3)} = \frac{y^2+9}{y(y+3)} \]
Дальше выражение не сокращается.
5. Периодическая дробь
Пусть
\[ x=0{,}(18)=0{,}181818\ldots \]
Умножим на \(100\):
\[ 100x=18{,}181818\ldots \]
Вычтем \(x\):
\[ 100x-x=18{,}181818\ldots-0{,}181818\ldots \]
\[ 99x=18 \]
\[ x=\frac{18}{99}=\frac{2}{11} \]
Проверка:
\[ \frac{2}{11}=0{,}181818\ldots=0{,}(18). \]
6. Иррациональные числа
Рациональное число можно записать в виде \(\frac{m}{n}\), где \(m,n\) — целые и \(n\ne0\).
- \(\sqrt{49}=7\) — рациональное число.
- \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\) — иррациональное, так как \(50\) не является полным квадратом.
- \(\pi\) — иррациональное число.
- \(3{,}141=\frac{3141}{1000}\) — конечная десятичная дробь, значит, рациональное число.
Ответ: иррациональны \(\sqrt{50}\) и \(\pi\).
7. Освобождение от иррациональности в знаменателе
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt5\):
\[ \frac{10}{\sqrt5} = \frac{10\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \frac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5 \]
Проверка:
\[ (2\sqrt5)^2=4\cdot5=20, \qquad \left(\frac{10}{\sqrt5}\right)^2=\frac{100}{5}=20. \]
