Упражнение 136-141.

Краткие ответы

136. \(m=4\)
137. \(\cos\varphi=-\dfrac{4}{\sqrt{266}}\), \(\varphi\approx104{,}2^\circ\)
138. \(p=4\)
139. \(m=-4\)
140. \(m=-2,\ n=4\)
141. \(\vec{BA}=8\vec i-5\vec j-4\vec k=(8;-5;-4)\)

---

Как решаются такие задания

136. Перпендикулярность векторов
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

\[ \vec a=(m;3;4),\qquad \vec b=(4;m;-7) \]

\[ \vec a\cdot\vec b=4m+3m+4\cdot(-7)=7m-28 \]

\[ 7m-28=0 \quad\Rightarrow\quad m=4 \]

Проверка: при \(m=4\) скалярное произведение действительно равно \(16+12-28=0\).

---

137. Угол между векторами
Формула:

\[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} \]

Сначала находим векторы по координатам точек: «конец минус начало».

\[ \vec{AC}=C-A=(-3;3;-1) \]

\[ \vec{BD}=D-B=(-6;-9;3) \]

Скалярное произведение:

\[ (-3)(-6)+3(-9)+(-1)(3)=18-27-3=-12 \]

Длины:

\[ |\vec{AC}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19} \]

\[ |\vec{BD}|=\sqrt{36+81+9}=\sqrt{126} \]

Значит,

\[ \cos\varphi=\frac{-12}{\sqrt{19}\sqrt{126}} =-\frac{4}{\sqrt{266}} \]

\[ \varphi=\arccos\left(-\frac4{\sqrt{266}}\right)\approx104{,}2^\circ \]

Косинус отрицательный, поэтому угол тупой — для угла между векторами это нормально.

---

138–140. Коллинеарность векторов
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть один вектор получается из другого умножением на число.

138.

\[ \vec a=(2;p;6),\qquad \vec b=(1;2;3) \]

Из первой и третьей координат:

\[ \vec a=2\vec b \]

Значит,

\[ p=2\cdot2=4 \]

139.

\[ \vec a=(2;3;-4),\qquad \vec b=(m;-6;8) \]

Видно, что

\[ \vec b=-2\vec a \]

Тогда

\[ m=-2\cdot2=-4 \]

140.

\[ \vec a=(-1;m;2),\qquad \vec b=(-2;-4;n) \]

Первая координата показывает:

\[ \vec b=2\vec a \]

Поэтому

\[ -4=2m \Rightarrow m=-2 \]

\[ n=2\cdot2=4 \]

---

141. Разложение вектора по ортам

Координаты вектора по двум точкам:

\[ \vec{BA}=A-B \]

\[ A(2;-7;-3),\qquad B(-6;-2;1) \]

\[ \vec{BA}=(2-(-6);\ -7-(-2);\ -3-1) \]

\[ \vec{BA}=(8;-5;-4) \]

Значит,

\[ \vec{BA}=8\vec i-5\vec j-4\vec k \]

Проверка: если бы искали \(\vec{AB}\), получилось бы \((-8;5;4)\), то есть противоположный вектор.