Номер 70

Кратко:
а) \(\triangle ABC=\triangle KNM\) по стороне и двум прилежащим углам.
б) Из этого равенства и данных задачи получаем \(AN=KB\).

а) Докажем равенство треугольников

По рисунку 117 точки \(A,M,C,K\) лежат на одной прямой в порядке \[ A-M-C-K. \]

Поэтому \[ AC=AM+MC,\qquad KM=KC+CM. \] Но по условию \(AM=KC\). Значит, \[ AC=KM. \]

Теперь сравним углы. Так как \(CA\) и \(CK\) — противоположные лучи, углы \(\angle ACB\) и \(\angle KCB\) смежные: \[ \angle ACB=180^\circ-\angle KCB. \] Аналогично \(MA\) и \(MK\) — противоположные лучи, поэтому \[ \angle KMN=180^\circ-\angle AMN. \] По условию \[ \angle AMN=\angle KCB. \] Следовательно, \[ \angle ACB=\angle KMN. \]

В треугольниках \(ABC\) и \(KNM\): \[ AC=KM, \] \[ \angle BAC=\angle NKM \quad\text{(по условию)}, \] \[ \angle ACB=\angle KMN \quad\text{(доказали)}. \]

Сторона \(AC\) в \(\triangle ABC\) и сторона \(KM\) в \(\triangle KNM\) заключены между равными углами. Значит, по второму признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABC=\triangle KNM. \]

При этом соответствие вершин: \[ A\leftrightarrow K,\qquad B\leftrightarrow N,\qquad C\leftrightarrow M. \]

б) Докажем \(AN=KB\)

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \[ BC=NM. \]

Рассмотрим треугольники \(AMN\) и \(KCB\). В них: \[ AM=KC \quad\text{(по условию)}, \] \[ MN=CB \quad\text{(из доказанного равенства)}, \] \[ \angle AMN=\angle KCB \quad\text{(по условию)}. \]

Углы \(\angle AMN\) и \(\angle KCB\) заключены между соответственно равными сторонами. Поэтому \[ \triangle AMN=\triangle KCB \] по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ AN=KB. \]

Что и требовалось доказать.