307
Кратко:
а) \(x=\frac23\); б) \(x=0\); в) \(x=-24\); г) \(x=\frac14\).
Принцип: если \(\sqrt{f(x)}=a\), то возводим обе части в квадрат: \[ f(x)=a^2. \] Потом обязательно проверяем найденное значение подстановкой.
Решение:
а) \(\sqrt{3x-1}=1\)
\[
3x-1=1^2=1
\]
\[
3x=2,\quad x=\frac23
\]
Проверка: \(\sqrt{3\cdot\frac23-1}=\sqrt{2-1}=1\).
б) \(\sqrt{6x+4}=2\)
\[
6x+4=4
\]
\[
6x=0,\quad x=0
\]
Проверка: \(\sqrt{4}=2\).
в) \(\sqrt{12-x}=6\)
\[
12-x=36
\]
\[
-x=24,\quad x=-24
\]
Проверка: \(\sqrt{12-(-24)}=\sqrt{36}=6\).
г) \(\sqrt{8x-1}=1\)
\[
8x-1=1
\]
\[
8x=2,\quad x=\frac14
\]
Проверка: \(\sqrt{8\cdot\frac14-1}=\sqrt{2-1}=1\).
Главное: возвести в квадрат, решить линейное уравнение и проверить корень.
Обсуждение
2 сообщенияподробно как решать
Подробно разберём уравнения из предыдущего ответа. Они все одного вида:
\[ \sqrt{A(x)}=c, \]
где справа стоит число. Главный приём — возвести обе части в квадрат, но сначала надо учитывать, что под корнем не может быть отрицательного числа.
Общий алгоритм
- Записываем условие под корнем: \[ A(x)\ge 0. \]
- Если справа стоит отрицательное число, то решений нет: корень не может быть отрицательным.
- Возводим обе части в квадрат: \[ A(x)=c^2. \]
- Решаем получившееся уравнение.
- Проверяем найденный корень — подставляем в исходное уравнение или проверяем условие под корнем.
а) \(\sqrt{3x-1}=1\)
Под корнем должно быть неотрицательное число:
\[ 3x-1\ge 0 \]
\[ 3x\ge 1 \]
\[ x\ge \frac13. \]
Теперь возводим обе части в квадрат:
\[ 3x-1=1^2 \]
\[ 3x-1=1. \]
Переносим \(-1\) вправо:
\[ 3x=2. \]
Делим на \(3\):
\[ x=\frac23. \]
Проверяем: \(\frac23\ge \frac13\), значит, корень подходит.
Подстановка:
\[ \sqrt{3\cdot \frac23-1}=\sqrt{2-1}=\sqrt1=1. \]
Ответ: \(x=\frac23\).
б) \(\sqrt{6x+4}=2\)
Условие под корнем:
\[ 6x+4\ge 0. \]
Но сначала можно решить уравнение, а потом проверить.
Возводим в квадрат:
\[ 6x+4=2^2 \]
\[ 6x+4=4. \]
Вычитаем \(4\):
\[ 6x=0. \]
\[ x=0. \]
Проверка:
\[ \sqrt{6\cdot 0+4}=\sqrt4=2. \]
Всё верно.
Ответ: \(x=0\).
в) \(\sqrt{12-x}=6\)
Условие под корнем:
\[ 12-x\ge 0 \]
\[ x\le 12. \]
Возводим в квадрат:
\[ 12-x=6^2 \]
\[ 12-x=36. \]
Переносим \(12\) вправо:
\[ -x=36-12 \]
\[ -x=24. \]
Умножаем на \(-1\):
\[ x=-24. \]
Проверка: \(-24\le 12\), условие выполнено.
\[ \sqrt{12-(-24)}=\sqrt{12+24}=\sqrt{36}=6. \]
Ответ: \(x=-24\).
г) \(\sqrt{8x-1}=1\)
Условие под корнем:
\[ 8x-1\ge 0 \]
\[ 8x\ge 1 \]
\[ x\ge \frac18. \]
Возводим в квадрат:
\[ 8x-1=1^2 \]
\[ 8x-1=1. \]
Переносим \(-1\):
\[ 8x=2. \]
Делим на \(8\):
\[ x=\frac{2}{8}=\frac14. \]
Проверка: \(\frac14\ge \frac18\), значит, корень подходит.
\[ \sqrt{8\cdot \frac14-1}=\sqrt{2-1}=\sqrt1=1. \]
Ответ: \(x=\frac14\).
Главное, что нужно запомнить
Для уравнения \(\sqrt{A(x)}=c\):
\[ A(x)=c^2, \]
но обязательно нужно, чтобы:
- под корнем было \(A(x)\ge 0\);
- правая часть была \(c\ge 0\).
Если после решения корень не проходит проверку, его нужно отбросить.
