Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: x = 2 или x = 3.
Как понять решение:
- Ищем два числа, которые при умножении дают 6, а при сложении дают 5. Это числа 2 и 3.
- Поэтому выражение можно разложить так: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
- Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \] Значит: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка:
- при \(x=2\): \(4-10+6=0\);
- при \(x=3\): \(9-15+6=0\).
Общий принцип: если уравнение имеет вид
\[
x^2-(a+b)x+ab=0,
\]
то его корни — числа \(a\) и \(b\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Смотри, \(x\) ниоткуда не «появляется» — он всё время был в уравнении. На втором этапе мы просто проверяем обратным умножением, что скобки действительно дают исходное выражение.
Шаг 1. Раскрываем скобки
Возьмём \((x-2)(x-3)\). Сначала умножаем \(x\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ x\cdot(x-3)=x\cdot x-x\cdot 3=x^2-3x \]
Потом умножаем \(-2\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ -2\cdot(x-3)=-2x+6 \]
Складываем всё вместе:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Получили ровно наше уравнение. Значит, разложение верное:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Шаг 2. Почему из этого выходят корни
Если подставить число вместо \(x\), скобки станут обычными числами. Например, при \(x=2\):
\[ (x-2)(x-3)=(2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0 \]
При \(x=3\):
\[ (3-2)(3-3)=1\cdot 0=0 \]
А при любом другом \(x\), например \(x=4\), обе скобки не равны нулю, и произведение не равно нулю. Поэтому произведение равно нулю только тогда, когда нулю равна хотя бы одна скобка:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Коротко о смысле
\(x\) — это переменная, то есть число, которое мы ищем. В разложении \((x-2)(x-3)\) буква \(x\) сохраняется, потому что мы не знаем её значение. А числа \(2\) и \(3\) — это как раз те значения, при которых одна из скобок обнуляется.
Если хочешь, можем разобрать такой же пример, например \(x^2-7x+10=0\).
