Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета).

Для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) корни удовлетворяют условиям:

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q\]

У нас \(p=-5\), \(q=6\), то есть нужны два числа с суммой 5 и произведением 6. Это \(2\) и \(3\):

\[2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6\]

Значит, выражение раскладывается так:

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3\]

Способ 2. Через дискриминант (проверка).

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\] \[x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2\]

Оба способа дают одно и то же — ответ верный.

Принцип, который стоит запомнить

1. Если уравнение приведённое (коэффициент при \(x^2\) равен 1) и корни целые — сначала пробуй подобрать их по Виету: сумма = \(-p\), произведение = \(q\).
2. Если подобрать не удаётся (или корни не целые) — работай через дискриминант: \(D=b^2-4ac\), затем \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
3. При \(D>0\) — два корня, при \(D=0\) — один, при \(D<0\) — корней нет.

Мини-тренировка: реши таким же образом \(x^2-7x+10=0\). Подсказка: ищи два числа с суммой 7 и произведением 10.