Реши задание на изображении

Да, разберём подробнее каждый номер.

№12

\[ y=x^2+12\ln(x+5)-7 \]

1. Область определения

Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ x+5>0 \quad\Rightarrow\quad x>-5. \]

2. Производная

\[ y'=2x+12\cdot \frac1{x+5}. \]

Приведём к общей дроби:

\[ y'=\frac{2x(x+5)+12}{x+5} =\frac{2x^2+10x+12}{x+5}. \]

Разложим числитель:

\[ 2x^2+10x+12=2(x^2+5x+6)=2(x+2)(x+3). \]

Значит,

\[ y'=\frac{2(x+2)(x+3)}{x+5}. \]

3. Критические точки

Производная равна нулю:

\[ (x+2)(x+3)=0, \]

\[ x=-3,\qquad x=-2. \]

Обе точки входят в область определения \(x>-5\).

4. Знаки производной

Знаменатель \(x+5>0\), поэтому знак \(y'\) определяется числителем
\(2(x+2)(x+3)\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-5;-3) & -3 & (-3;-2) & -2 & (-2;+\infty)\\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]

В точке \(x=-3\) производная меняет знак с \(+\) на \(-\), значит, это точка максимума.

В точке \(x=-2\) производная меняет знак с \(-\) на \(+\), значит, это точка минимума.

Ответ №12

\[ \boxed{x=-3} \]

---

№13

\[ \sqrt{2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x-\sin x} = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}. \]

1. Упростим правую часть

По формуле приведения:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x. \]

Поэтому уравнение можно записать так:

\[ \sqrt{2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x-\sin x} = \sqrt{-\sin x}. \]

Так как под корнем справа должно быть неотрицательное число:

\[ -\sin x\ge 0, \]

то есть

\[ \sin x\le 0. \]

Это условие нужно проверить у всех найденных решений.

2. Приравняем подкоренные выражения

Обе части — квадратные корни, то есть неотрицательные числа. Поэтому уравнение равносильно равенству подкоренных выражений при условии \(\sin x\le 0\):

\[ 2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x-\sin x=-\sin x. \]

Сократим \(-\sin x\) слева и справа:

\[ 2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x=0. \]

3. Обозначим \(\cos x=c\)

Так как

\[ \sin^2x=1-\cos^2x=1-c^2, \]

получаем:

\[ 2c^3-(1-c^2)-2c=0. \]

Раскрываем скобки:

\[ 2c^3-1+c^2-2c=0, \]

\[ 2c^3+c^2-2c-1=0. \]

Разложим на множители:

\[ 2c^3+c^2-2c-1 =c^2(2c+1)-(2c+1) =(2c+1)(c^2-1). \]

Значит,

\[ (2c+1)(c-1)(c+1)=0. \]

Отсюда:

\[ c=-\frac12,\qquad c=1,\qquad c=-1. \]

То есть:

\[ \cos x=-\frac12,\qquad \cos x=1,\qquad \cos x=-1. \]

4. Рассматриваем каждый случай

Случай 1: \(\cos x=1\)

Тогда \(\sin x=0\), условие \(\sin x\le0\) выполняется.

\[ x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \]

Случай 2: \(\cos x=-1\)

Тогда \(\sin x=0\), условие также выполняется.

\[ x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \]

Эти две серии можно объединить:

\[ x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Действительно, при чётном \(k\) получаем \(\cos x=1\), при нечётном — \(\cos x=-1\), а \(\sin x=0\).

Случай 3: \(\cos x=-\frac12\)

Тогда

\[ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n. \]

Но нужно \(\sin x\le0\).

Для

\[ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \]

имеем

\[ \sin x=\frac{\sqrt3}{2}>0, \]

поэтому эти значения не подходят.

Для

\[ x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \]

имеем

\[ \sin x=-\frac{\sqrt3}{2}<0, \]

поэтому эти значения подходят.

Ответ №13, пункт а)

\[ \boxed{x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z;} \]

\[ \boxed{x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.} \]

---

Пункт б) №13

Нужно отобрать корни на отрезке

\[ \left[-4\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right]. \]

1. Серия \(x=\pi k\)

Нужно:

\[ -4\pi\le \pi k\le -\frac{5\pi}{2}. \]

Делим на \(\pi>0\):

\[ -4\le k\le -\frac52. \]

Целые \(k\):

\[ k=-4,\quad k=-3. \]

Получаем:

\[ x=-4\pi,\qquad x=-3\pi. \]

2. Серия \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\)

Нужно:

\[ -4\pi\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2}. \]

Делим на \(\pi\):

\[ -4\le -\frac23+2n\le -\frac52. \]

Прибавим \(\frac23\):

\[ -\frac{10}{3}\le 2n\le -\frac{11}{6}. \]

Делим на \(2\):

\[ -\frac53\le n\le -\frac{11}{12}. \]

Сюда попадает только одно целое \(n\):

\[ n=-1. \]

Тогда

\[ x=-\frac{2\pi}{3}-2\pi =-\frac{2\pi}{3}-\frac{6\pi}{3} =-\frac{8\pi}{3}. \]

Ответ №13, пункт б)

\[ \boxed{-4\pi;\quad -3\pi;\quad -\frac{8\pi}{3}.} \]

---

Итоговые ответы

\[ \boxed{12.\ x=-3} \]

\[ \boxed{13.\text{ а) }x=\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.} \]

\[ \boxed{13.\text{ б) }-4\pi;\ -3\pi;\ -\frac{8\pi}{3}.} \]

По №14 на фото не видно полного условия — чтобы решить его подробно, пришлите, пожалуйста, полный текст или фото нижней части задания.

Откуда берётся \(1-\cos^2 x\)

Это не отдельная формула, а переписанное основное тригонометрическое тождество:

\[ \boxed{\sin^2 x+\cos^2 x=1} \]

Из него сразу:

\[ \sin^2 x=1-\cos^2 x, \qquad \cos^2 x=1-\sin^2 x. \]

---

Доказательство 1 — через единичную окружность

Берём окружность радиуса \(1\) с центром в начале координат. Точка поворота на угол \(x\) имеет координаты

\[ M(\cos x;\ \sin x). \]

Она лежит на окружности, уравнение которой

\[ X^2+Y^2=1. \]

Подставляем координаты точки \(M\):

\[ (\cos x)^2+(\sin x)^2=1, \]

то есть

\[ \cos^2x+\sin^2x=1. \]

Отсюда

\[ \sin^2x=1-\cos^2x. \]

---

Доказательство 2 — через прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(1\):

\[ \sin x=\frac{\text{противолежащий катет}}{1}, \qquad \cos x=\frac{\text{прилежащий катет}}{1}. \]

То есть катеты равны \(\sin x\) и \(\cos x\). По теореме Пифагора:

\[ (\sin x)^2+(\cos x)^2=1^2=1. \]

Получили то же самое.

---

Проверка на числах

Возьмём \(x=30^\circ\):

\[ \sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}. \]

\[ 1-\cos^2 30^\circ =1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =1-\frac34 =\frac14 =\left(\frac12\right)^2 =\sin^2 30^\circ. \]

Совпало.

---

Зачем это понадобилось в №13

После сокращения \(-\sin x\) получилось уравнение

\[ 2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x=0. \]

В нём смешаны \(\cos x\) и \(\sin^2 x\). Чтобы свести всё к одной переменной, обозначаем

\[ c=\cos x. \]

Но тогда \(\sin^2 x\) тоже надо выразить через \(c\). Именно здесь и работает тождество:

\[ \sin^2x=1-\cos^2x=1-c^2. \]

Подставляем:

\[ 2c^3-(1-c^2)-2c=0. \]

Без этой замены уравнение содержало бы две разные функции, и решить его было бы гораздо сложнее — а так получилось кубическое уравнение относительно \(c\), которое раскладывается на множители:

\[ 2c^3+c^2-2c-1=(2c+1)(c-1)(c+1)=0. \]

---

Итог: \(\sin^2x=1-\cos^2x\) — это следствие того, что \(\sin^2x+\cos^2x=1\). В №13 замена нужна была для того, чтобы в уравнении осталась только \(\cos x\).