Реши задание на изображении

Ооба, толук чыгарылышы менен:

Берилген теңсиздик: \[ 7\left(\frac16-x\right)^2\le 0 \]

1. Каалаган сандын квадраты терс эмес: \[ \left(\frac16-x\right)^2\ge 0 \]

2. \(7>0\) болгондуктан: \[ 7\left(\frac16-x\right)^2\ge 0 \]

3. Теңсиздик боюнча бул туюнтма \(\le 0\) болушу керек. Ал эми ал терс боло албайт, демек: \[ 7\left(\frac16-x\right)^2=0 \]

4. \(7\ne 0\), ошондуктан: \[ \left(\frac16-x\right)^2=0 \] \[ \frac16-x=0 \] \[ x=\frac16 \]

5. Текшерүү: \[ 7\left(\frac16-\frac16\right)^2=7\cdot 0^2=0\le 0 \] Туура.

Жооп: \[ \boxed{x=\frac16} \]

Бул жерде чечим бир гана сан болот, интервал эмес. Себеби квадрат \(\le 0\) болушу үчүн ал так нөлгө барабар болушу керек.

Жана ж), з) толук чыгарылышы менен:

---

ж) \(3x^2-3<x^2-x\)

Бардык мүчөлөрдү бир жагына өткөрөбүз:

\[ 3x^2-3-x^2+x<0 \]

Окшош мүчөлөрдү жыйнайбыз:

\[ 2x^2+x-3<0 \]

Квадраттык үч мүчөнү көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз:

\[ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \]

Демек:

\[ (2x+3)(x-1)<0 \]

Тамырлары:

\[ 2x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac32 \]

\[ x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \]

\(x^2\)-нин коэффициенти \(2>0\), ошондуктан параболанын бутактары өйдө карайт. Ал эми \(<0\) болушу үчүн парабола сан огунун эки тамырдын ортосундагы бөлүгүндө жатуу керек.

Демек:

\[ -\frac32<x<1 \]

Жооп:

\[ \boxed{x\in\left(-\frac32;\,1\right)} \]

Же:

\[ \boxed{-1{,}5<x<1} \]

---

з) \((x-1)(x+3)>5\)

Алгач кашааны ачабыз:

\[ x^2+3x-x-3>5 \]

\[ x^2+2x-3>5 \]

5ти сол жакка өткөрөбүз:

\[ x^2+2x-3-5>0 \]

\[ x^2+2x-8>0 \]

Көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз:

\[ x^2+2x-8=(x+4)(x-2) \]

Демек:

\[ (x+4)(x-2)>0 \]

Тамырлары:

\[ x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x=-4 \]

\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]

Бул жерде \(x^2\)-нин коэффициенти \(1>0\), башкача айтканда параболанын бутактары өйдө карайт. \(>0\) болушу үчүн парабола тамырлардын сыртындагы бөлүктөрдө жатуу керек.

Демек:

\[ x<-4 \quad\text{же}\quad x>2 \]

Жооп:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)} \]

---

Кыскача эреже

\[ ax^2+bx+c>0 \]

• эгер \(a>0\) болсо, параболанын бутактары өйдө;
• \(>0\) болгондо тамырлардын сыртындагы аралыктарды алабыз;
• \(<0\) болгондо тамырлардын ортосундагы аралыкты алабыз;
• катуу теңсиздикте (\(<\) же \(>\)) тамырлар жоопко кирбейт.

60-конугуунун далили

Берилген: \[ x_1<x_0<x_2 \] жана \(x_1,\ x_2\) — \(ax^2+bx+c\) квадраттык үч мүчөсүнүн тамырлары.

Квадраттык үч мүчөнү тамырлары аркылуу жазабыз: \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Анда \(x=x_0\) үчүн: \[ ax_0^2+bx_0+c=a(x_0-x_1)(x_0-x_2). \]

Эки жагын \(a\)-га көбөйтөбүз: \[ a(ax_0^2+bx_0+c) =a^2(x_0-x_1)(x_0-x_2). \]

Эми белгилерди карайбыз. \(x_1<x_0<x_2\) болгондуктан: \[ x_0-x_1>0, \] \[ x_0-x_2<0. \]

Демек алардын көбөйтүндүсү терс: \[ (x_0-x_1)(x_0-x_2)<0. \]

Ал эми \[ a^2>0. \]

Ошондуктан: \[ a^2(x_0-x_1)(x_0-x_2)<0. \]

Бул дегендик: \[ \boxed{a(ax_0^2+bx_0+c)<0}. \]

Далилденди. \(\blacksquare\)

Кыскача мааниси: эки тамырдын ортосундагы \(x_0\) үчүн \((x_0-x_1)>0\), \((x_0-x_2)<0\), алардын көбөйтүндүсү терс; \(a^2\) дайыма оң болгондуктан, \(a(ax_0^2+bx_0+c)\) сөзсүз терс болот.

61-конугуунун чыгарылышы

Үч удаалаш натуралдык санды төмөнкүдөй белгилейбиз: \[ n,\quad n+1,\quad n+2. \]

Маселенин шарты боюнча: \[ n(n+1)<72 \] жана \[ (n+1)(n+2)\ge 72. \]

1) Биринчи шартты чыгарабыз

\[ n(n+1)<72 \] \[ n^2+n-72<0 \] \[ (n-8)(n+9)<0. \]

Тамырлары: \[ n=8,\qquad n=-9. \]

Демек: \[ -9<n<8. \]

\(n\) — натуралдык сан болгондуктан: \[ n=1,2,3,4,5,6,7. \]

2) Экинчи шартты чыгарабыз

\[ (n+1)(n+2)\ge 72 \] \[ n^2+3n+2\ge 72 \] \[ n^2+3n-70\ge 0 \] \[ (n-7)(n+10)\ge 0. \]

Тамырлары: \[ n=7,\qquad n=-10. \]

Натуралдык \(n\) үчүн бул шарт: \[ n\ge 7. \]

3) Эки шартты бириктиребиз

Биринчиден: \[ n\le 7, \] экинчиден: \[ n\ge 7. \]

Демек: \[ n=7. \]

Анда сандар: \[ 7,\quad 8,\quad 9. \]

Текшерүү

Биринчи эки сандын көбөйтүндүсү: \[ 7\cdot 8=56<72. \]

Акыркы эки сандын көбөйтүндүсү: \[ 8\cdot 9=72\ge 72. \]

Шарттар аткарылат.

Жооп: \[ \boxed{7,\ 8,\ 9} \]