Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.\]

Как это получить

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета).

У приведённого уравнения \(x^2+bx+c=0\) (коэффициент при \(x^2\) равен 1) корни связаны с коэффициентами:

\[x_1+x_2=-b=5,\qquad x_1\cdot x_2=c=6.\]

Значит, нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6. Это 2 и 3: \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).

Отсюда разложение:

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), то есть \(x=2\) или \(x=3\).

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0.\] \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}.\] \[x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2.\]

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔ Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип на будущее: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) сначала ищи корни по Виету (сумма \(=-b\), произведение \(=c\)) — это быстро; если числа не подбираются, бери дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.