119

Кратко:

а) \(\left(\dfrac{5a^3}{3b^2}\right)^4=\dfrac{625a^{12}}{81b^8}\)

б) \(\left(\dfrac{2x^2}{3y^3}\right)^5=\dfrac{32x^{10}}{243y^{15}}\)

в) \(\left(\dfrac{-10m^2}{n^2p}\right)^3=-\dfrac{1000m^6}{n^6p^3}\)

г) \(\left(-\dfrac{b^3c^2}{8a^3}\right)^2=\dfrac{b^6c^4}{64a^6}\)

Как это получается

Используем два правила:

\[ \left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}, \qquad \left(x^k\right)^n=x^{kn}. \]

То есть степень применяется и к числителю, и к знаменателю, а показатели степеней перемножаются.

а)
\[ \frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4} = \frac{5^4\cdot a^{3\cdot4}}{3^4\cdot b^{2\cdot4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8}. \]

б)
\[ \frac{(2x^2)^5}{(3y^3)^5} = \frac{2^5x^{10}}{3^5y^{15}} = \frac{32x^{10}}{243y^{15}}. \]

в)
Здесь степень нечётная — \(3\), поэтому минус сохраняется: \[ \frac{(-10)^3m^{2\cdot3}}{(n^2p)^3} = \frac{-1000m^6}{n^6p^3} = -\frac{1000m^6}{n^6p^3}. \]

г)
Степень чётная — \(2\), поэтому минус исчезает: \[ \frac{b^{3\cdot2}c^{2\cdot2}}{8^2a^{3\cdot2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}. \]

Проверка: в каждом ответе показатель степени при каждой букве равен исходному показателю, умноженному на внешнюю степень; числовой коэффициент тоже возведён в эту степень.