61 б,65 б,66 б
Кратко:
- 61 б: \(\angle hk=150^\circ,\ \angle kl=30^\circ\).
- 65 б: при пересечении прямых получаются два угла по \(40^\circ\) и два по \(140^\circ\). Значения углов: \(40^\circ\) и \(140^\circ\).
- 66 б: \(\angle1=\angle3=45^\circ,\ \angle2=\angle4=135^\circ\).
Как решать
61 б. Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).
Пусть \(\angle kl=x\), тогда \(\angle hk=x+120^\circ\).
\[ x+(x+120^\circ)=180^\circ \]
\[ 2x=60^\circ,\quad x=30^\circ \]
Значит:
\[ \angle kl=30^\circ,\qquad \angle hk=150^\circ \]
Проверка: \(150^\circ+30^\circ=180^\circ\), разность \(150^\circ-30^\circ=120^\circ\).
65 б. При пересечении двух прямых сумма всех четырёх углов равна \(360^\circ\).
Если сумма трёх углов равна \(220^\circ\), то четвёртый угол:
\[ 360^\circ-220^\circ=140^\circ \]
Вертикальный ему угол тоже \(140^\circ\). Смежный с ним:
\[ 180^\circ-140^\circ=40^\circ \]
То есть углы: \(140^\circ,140^\circ,40^\circ,40^\circ\).
66 б. По рисунку 41:
\[ \angle1=\angle3,\qquad \angle2=\angle4 \]
как вертикальные, а \(\angle1+\angle2=180^\circ\) как смежные.
Пусть \(\angle1=x\). Тогда \(\angle3=x\), \(\angle2=\angle4=y\).
\[ 3(x+x)=y+y \]
\[ 6x=2y \quad\Rightarrow\quad y=3x \]
Так как \(x+y=180^\circ\):
\[ x+3x=180^\circ \]
\[ 4x=180^\circ,\quad x=45^\circ \]
Значит:
\[ \angle1=\angle3=45^\circ,\qquad \angle2=\angle4=135^\circ \]
Проверка:
\[ 3(45^\circ+45^\circ)=270^\circ,\qquad 135^\circ+135^\circ=270^\circ \]
Обсуждение
2 сообщенияне кратко
Хорошо, разберём подробно, с пояснением каждого шага.
Что нужно помнить
При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Для них работают два главных свойства:
Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую. Их сумма всегда равна \(180^\circ\): \[ \alpha+\beta=180^\circ \]
Вертикальные углы — это углы, расположенные друг против друга. Они равны: \[ \alpha=\gamma,\qquad \beta=\delta \]
Сумма всех четырёх углов при пересечении двух прямых равна: \[ 360^\circ \]
Теперь применим это к заданиям.
61 б
Нам даны смежные углы \(\angle hk\) и \(\angle kl\). Один из них на \(120^\circ\) больше другого.
Пусть меньший угол \(\angle kl=x\).
Тогда больший угол \(\angle hk=x+120^\circ\).
Так как углы смежные, их сумма равна \(180^\circ\):
\[ x+(x+120^\circ)=180^\circ \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x+120^\circ=180^\circ \]
Переносим \(120^\circ\) вправо:
\[ 2x=180^\circ-120^\circ \]
\[ 2x=60^\circ \]
\[ x=30^\circ \]
Значит:
\[ \angle kl=30^\circ \]
\[ \angle hk=30^\circ+120^\circ=150^\circ \]
Проверка
Сумма:
\[ 150^\circ+30^\circ=180^\circ \]
Разность:
\[ 150^\circ-30^\circ=120^\circ \]
Всё сходится.
Ответ:
\[ \boxed{\angle hk=150^\circ,\qquad \angle kl=30^\circ} \]
65 б
При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сказано, что сумма трёх из них равна \(220^\circ\).
Сначала найдём четвёртый угол. Сумма всех четырёх углов равна \(360^\circ\), поэтому:
\[ \angle4=360^\circ-220^\circ=140^\circ \]
Теперь вспомним, что вертикальные углы равны. Значит, угол, вертикальный найденному, тоже равен:
\[ 140^\circ \]
Остальные два угла смежные с углом \(140^\circ\). Их величина:
\[ 180^\circ-140^\circ=40^\circ \]
То есть углы при пересечении прямых такие:
\[ 40^\circ,\quad 140^\circ,\quad 40^\circ,\quad 140^\circ \]
Проверка
Возьмём три угла:
\[ 40^\circ+140^\circ+40^\circ=220^\circ \]
Это совпадает с условием.
Ответ:
\[ \boxed{40^\circ\text{ и }140^\circ} \]
То есть образуются два угла по \(40^\circ\) и два угла по \(140^\circ\).
66 б
В задаче 66(б), судя по рисунку, дано соотношение:
\[ 3(\angle1+\angle3)=\angle2+\angle4 \]
При пересечении двух прямых углы \(\angle1\) и \(\angle3\) вертикальные, поэтому:
\[ \angle1=\angle3 \]
А углы \(\angle2\) и \(\angle4\) тоже вертикальные:
\[ \angle2=\angle4 \]
Пусть:
\[ \angle1=\angle3=x \]
\[ \angle2=\angle4=y \]
Тогда левая часть условия:
\[ 3(\angle1+\angle3)=3(x+x)=3\cdot2x=6x \]
Правая часть:
\[ \angle2+\angle4=y+y=2y \]
Получаем уравнение:
\[ 6x=2y \]
Разделим обе части на \(2\):
\[ 3x=y \]
То есть:
\[ y=3x \]
Кроме того, \(\angle1\) и \(\angle2\) — смежные углы, значит:
\[ x+y=180^\circ \]
Подставляем \(y=3x\):
\[ x+3x=180^\circ \]
\[ 4x=180^\circ \]
\[ x=45^\circ \]
Тогда:
\[ y=3x=3\cdot45^\circ=135^\circ \]
Значит:
\[ \angle1=\angle3=45^\circ \]
\[ \angle2=\angle4=135^\circ \]
Проверка
Левая часть:
\[ 3(45^\circ+45^\circ)=3\cdot90^\circ=270^\circ \]
Правая часть:
\[ 135^\circ+135^\circ=270^\circ \]
Равенство выполняется.
Ответ:
\[ \boxed{\angle1=\angle3=45^\circ,\qquad \angle2=\angle4=135^\circ} \]
Итоговая таблица
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 61 б | \(\angle hk=150^\circ,\ \angle kl=30^\circ\) |
| 65 б | два угла по \(40^\circ\) и два по \(140^\circ\) |
| 66 б | \(\angle1=\angle3=45^\circ,\ \angle2=\angle4=135^\circ\) |
Главный принцип во всех трёх задачах один: смежные углы дают в сумме \(180^\circ\), вертикальные углы равны, а все четыре угла вокруг точки пересечения прямых дают \(360^\circ\).
