145 а

Краткий ответ

\[ 2\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=\frac{5\pi}{6}+4\pi k\ \ \text{или}\ \ x=-\frac{\pi}{6}+4\pi k,\ \ k\in\mathbb Z} \]

Компактно: \(x=\dfrac{\pi}{3}\pm\dfrac{\pi}{2}+4\pi k\).

Ключевые шаги

1. Освободи х косинус — раздели на 2: \[ \cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2} \]

2. Простейшее уравнение. Общий вид: \(\cos t=a \Rightarrow t=\pm\arccos a+2\pi k\) (период косинуса именно \(2\pi\)). Здесь \(\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}\): \[ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k \]

3. Вырази \(\frac{x}{2}\), перенеся \(\frac{\pi}{6}\): \[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k \]

4. Умножь всё на 2 — и слагаемые с \(\pi\), и период: \[ x=\frac{\pi}{3}\pm\frac{\pi}{2}+4\pi k \] (\(2\pi k\cdot 2=4\pi k\) — здесь чаще всего теряют множитель.)

5. Распиши два случая:

• «плюс»: \(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi+3\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\);
• «минус»: \(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi-3\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}\).

Проверка

При \(k=0\), \(x=-\frac{\pi}{6}\): \[ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{12}-\frac{2\pi}{12}=-\frac{\pi}{4},\qquad 2\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\ \checkmark \]

При \(x=\frac{5\pi}{6}\): \(\frac{5\pi}{12}-\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{4}\), \(2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2\ \checkmark\)

Принцип на будущее

Любое уравнение вида \(A\cos(\omega x+\varphi)=B\) решается одинаково: изолируй тригонометрическую функцию → примени формулу \(\pm\arccos+2\pi k\) → реши линейное уравнение относительно \(x\) → умножь период на \(1/\omega\). Главные ловушки: потерять \(\pm\), забыть период при умножении и ошибиться со знаком при приведении дробей к общему знаменателю.