138 көнүгүү түшүндүрүп жазып чыгарып бер

138-көнүгүүнүн жообу (бурчтар радианда, \(n,k\in\mathbb Z\)):

• а) \(\sin x=\dfrac12\)
  \[ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \] же болбосо: \[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \]

• б) \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  \[ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n \] же: \[ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k. \]

• в) \(\sin x=-\dfrac12\)
  \[ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \] же: \[ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

• г) \(\sin x=-1\)
  \[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \] же \(\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\) — бул ошол эле чечим.

Түшүндүрүү

\(\sin x\) — бул бирдик айланадагы чекиттин \(y\)-координатасы.
\(\sin x=a\) теңдемесинде \(y=a\) горизонталдуу сызыгы айлана менен кесилишкен бурчтар чечим болот.

\(|a|\le 1\) болгондо жалпы формула:

\[ \sin x=a \quad\Rightarrow\quad x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

Бул формула эки топ чечимди бириктирет:

\[ x=\arcsin a+2\pi k \quad\text{жана}\quad x=\pi-\arcsin a+2\pi k. \]

Ар бир бөлүк кантип чыгат

1. а)
   \[ \arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}. \] Демек: \[ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n. \] \(n\) жуп болгондо \(\frac{\pi}{6}+2\pi k\), так болгондо \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) чыгат.

2. б)
   \[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}. \] Ошондуктан: \[ x=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\pi n =(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n. \]

3. в)
   \[ \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}. \] Демек: \[ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n. \]

4. г)
   \(\sin x=-1\) болгондо чекит айлананын эң төмөнкү учуна туура келет: \[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. \]

Текшерүү

\[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12, \] \[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\qquad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12, \] \[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1. \]

Демек жооптор туура. Чечимдер чексиз көп болгондуктан, \(n,k\in\mathbb Z\) деп жазуу сөзсүз керек.