Реши задание на изображении

Объясняю по шагам — это задание не на формулу, а на рисунок графика.

1. Что означают записи

Точка \((-3;5)\): первое число — \(x\), второе — \(y\).

• max \((-3;5)\) — в точке \(x=-3\) график имеет «горку»: слева поднимается, справа опускается.
• min \((4;-5)\) — в точке \(x=4\) «ямка»: слева опускается, справа поднимается.

В таких заданиях max/min — это вершины горок и ямок на графике. Поэтому максимумов может быть несколько, и они могут быть на разной высоте.

График — одна плавная линия без разрывов и петель.

2. Как строить задание 79

Идём по графику слева направо. После максимума график должен идти вниз, после минимума — вверх. Поэтому max и min чередуются.

Например, 79 а:

\[ \text{подъём} \to \max(-3;5) \to \text{спуск} \to \min(4;-5) \to \text{подъём} \]

Отмечаем точки \((-3;5)\) и \((4;-5)\). Рисуем слева подъём к первой точке, потом плавный спуск ко второй, потом снова подъём.

Аналогично:

• б: спуск к \(\min(-2;-3)\), подъём к \(\max(0;2)\), спуск к \(\min(2;-3)\), подъём;
• в: спуск к \(\min(-5;1)\), подъём к \(\max(2;6)\), спуск;
• г: подъём к \(\max(-4;5)\), спуск к \(\min(-1;-2)\), подъём к \(\max(3;2)\), спуск.

Края графика можно продолжить произвольно — важно, чтобы были видны указанные горки и ямки.

3. Чётность и нечётность в задании 80

Чётная функция: график симметричен относительно оси \(Oy\).
Если есть точка \((a;b)\), то есть и \((-a;b)\).

Например, 80 а: дана точка \(\max(-3;4)\). Так как функция чётная, автоматически есть симметричная \(\max(3;4)\). Плюс \(\min(0;0)\). Получается симметричная «чаша» с ямкой в центре.

Нечётная функция: график симметричен относительно начала координат \(O(0;0)\).
Если есть точка \((a;b)\), то есть и \((-a;-b)\).

Поэтому в 80 б:

• \(\max(-5;4)\) отражается в \(\min(5;-4)\);
• \(\min(-2;-3)\) отражается в \(\max(2;3)\);
• \(O(0;0)\) лежит в центре.

А в 80 г:

• \(\min(-4;-3)\) отражается в \(\max(4;3)\);
• \(\max(-1;1)\) отражается в \(\min(1;-1)\);
• через \(O(0;0)\) график просто проходит, это не горка и не ямка.

4. Как проверить себя

1. Все указанные точки отмечены.
2. В max график сверху «горка», в min — «ямка».
3. Для чётной функции левая часть — зеркальное отражение правой.
4. Для нечётной функции график переходит в себя при повороте на \(180^\circ\) вокруг начала координат.
5. Линия плавная, без вертикальных участков и разрывов.

График может выглядеть немного иначе, чем у соседа: форма горок и ямок не задана точно, важны только вершины и симметрия. Если хочешь, пришли свой рисунок — проверю.

На рисунке уже даны графики — отдельно чертить их не нужно. Ниже «скелет» для переноса в тетрадь: ● — ключевые точки, стрелки — ход линии.

\[ \begin{aligned} &\text{а) }(-8;4)\downarrow(-5;-1)\uparrow(1;5)\downarrow(3;-2)\uparrow(5;0)\\ &\text{б) две ветви около }x=-2,\ \text{горизонтальная асимптота }y=2,\ \text{через }(0;0)\\ &\text{в) }(-6;-2)\uparrow(-2;2)\downarrow(2;-2)\uparrow(6;2)\\ &\text{г) ломаная: }(-5;3)\to(-3;-3)\to(0;1)\to(3;-3)\to(7;3) \end{aligned} \]

а)
\(D=[-8;5]\), \(E=[-2;5]\).
Нули: \(x\approx -7;\ -3;\ 2;\ 5\).
\(y>0\) на \([-8;-7)\cup(-3;2)\);
\(y<0\) на \((-7;-3)\cup(2;5)\).
Убывает на \([-8;-5]\) и \([1;3]\); возрастает на \([-5;1]\) и \([3;5]\).
Экстремумы: \(\min(-5;-1)\), \(\max(1;5)\), \(\min(3;-2)\).
\(y_{\min}=-2\), \(y_{\max}=5\). Функция общего вида (не чётная и не нечётная).

б)
\(D=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\).
\(E=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\).
Нуль: \(x=0\).
\(y>0\) на \((-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\);
\(y<0\) на \((-2;0)\).
Возрастает на каждом промежутке области определения.
Экстремумов нет.
Асимптоты: \(x=-2\), \(y=2\).
Не чётная и не нечётная.

в)
\(D=[-6;6]\), \(E=[-2;2]\).
Нули: \(x=-4,\ 0,\ 4\).
\(y<0\) на \([-6;-4)\cup(0;4)\);
\(y>0\) на \((-4;0)\cup(4;6]\).
Возрастает на \([-6;-2]\) и \([2;6]\); убывает на \([-2;2]\).
Экстремумы: \(\max(-2;2)\), \(\min(2;-2)\).
\(y_{\max}=2\) при \(x=-2;6\), \(y_{\min}=-2\) при \(x=-6;2\).
Функция нечётная.

г)
\(D=[-5;7]\), \(E=[-3;3]\).
Нули: \(x=-4,\ -\frac34,\ \frac34,\ 5\).
\(y>0\) на \([-5;-4)\cup\left(-\frac34;\frac34\right)\cup(5;7]\);
\(y<0\) на \(\left(-4;-\frac34\right)\cup\left(\frac34;5\right)\).
Убывает на \([-5;-3]\) и \([0;3]\); возрастает на \([-3;0]\) и \([3;7]\).
Минимумы: \((-3;-3)\), \((3;-3)\); максимум: \((0;1)\).
\(y_{\max}=3\) при \(x=-5;7\), \(y_{\min}=-3\) при \(x=-3;3\).
Не чётная и не нечётная.