138 көнүгүү түшүндүрүп жазып чыгарып бер

Кыска жооп (138-көнүгүү):

• а) \(\sin x=\frac12\):
  \[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{же}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \] кыскача: \(\;x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n\).

• б) \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\):
  \[ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{же}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k, \] кыскача: \(\;x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n\).

• в) \(\sin x=-\frac12\):
  \[ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{же}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k, \] кыскача: \(\;x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n\).

• г) \(\sin x=-1\):
  \[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \] же ошого барабар \(\;x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\).

Бардык жерде \(k,n\in\mathbb Z\).

Кантип чыгарылат?

\(\sin x\) — бул бирдик айланадагы чекиттин \(y\)-координатасы. Бир эле \(y\) маанисине айланада эки чекит туура келет: \(\alpha\) жана \(\pi-\alpha\). Ошондуктан:

\[ \sin x=a \quad\Rightarrow\quad x=\alpha+2\pi k,\qquad x=\pi-\alpha+2\pi k, \]

мында \(\alpha=\arcsin a\).

Жалпы кыска формула: \[ \sin x=a \quad\Rightarrow\quad x=(-1)^n\arcsin a+\pi n. \]

Эми ар бирин текшеребиз:

1. а) \(\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}\). Экинчи бурч: \[ \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}. \]

2. б) \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}\). Экинчи бурч: \[ \pi-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4\pi}{3}. \]

3. в) \(\arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}\). Экинчи бурч: \[ \pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{7\pi}{6}. \]

4. г) \(\sin x=-1\) болгондо чекит айлананын эң төмөнкү чекитинде гана болот, ошондуктан чечим бир эле топтом: \[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Текшерүү:
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\), \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12\);
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}\).
Синустун периоду \(2\pi\) болгондуктан, \(2\pi k\) кошуу жоопту өзгөртпөйт.