исследовать график функции
Прости за ожидание — вот разбор.
Краткий ответ (то, что «читается» с графика)
| Что исследуем | Ответ |
|---|---|
| Область определения \(D(y)\) | \((-\infty;+\infty)\) |
| Область значений \(E(y)\) | \((-\infty;+\infty)\) |
| Нули функции | \(x=-4,\; x=1,\; x=5\) |
| \(y>0\) | \(x\in(-4;1)\cup(5;+\infty)\) |
| \(y<0\) | \(x\in(-\infty;-4)\cup(1;5)\) |
| Возрастает | \((-\infty;-1]\) и \([3;+\infty)\) |
| Убывает | \([-1;3]\) |
| Максимум | \(y=3\) при \(x=-1\) |
| Минимум | \(y=-3\) при \(x=3\) |
Наибольшего и наименьшего значений на всей области определения нет: левая ветвь уходит вниз, правая — вверх, поэтому \(E(y)=\mathbb{R}\).
Как это получается (принцип)
1. Область определения. График «тянется» влево и вправо без разрывов и выколотых точек → все \(x\) подходят.
2. Область значений. Левая ветвь уходит ниже любой горизонтали, правая — выше любой → все \(y\) встречаются.
3. Нули функции — точки, где график пересекает ось \(Ox\) (там \(y=0\)): слева \(x=-4\), затем \(x=1\), затем \(x=5\).
4. Знаки. Смотри, выше или ниже оси лежит график:
- левее \(-4\) — ниже оси → \(y<0\);
- между \(-4\) и \(1\) — выше (там горб высотой 3) → \(y>0\);
- между \(1\) и \(5\) — ниже (там яма глубиной \(-3\)) → \(y<0\);
- правее \(5\) — выше → \(y>0\).
5. Возрастание/убывание. Идёшь по графику слева направо: до вершины горба кривая поднимается (возрастает), от горба до ямы — опускается (убывает), после ямы снова поднимается. Вершина горба — около \(x=-1\), дно ямы — при \(x=3\).
6. Экстремумы. Высшая точка горба: \((-1;3)\) → \(y_{\max}=3\). Низшая точка ямы: \((3;-3)\) → \(y_{\min}=-3\). Точки экстремума — это \(x=-1\) (max) и \(x=3\) (min), а экстремумы — сами значения \(3\) и \(-3\).
7. Проверка. Всё согласуется: на промежутке возрастания график идёт вверх, на промежутке убывания — вниз; на концах промежутков знак \(y\) меняется именно в нулях \(-4\), \(1\), \(5\); значения \(\pm3\) совпадают с подписями на оси \(Oy\).
Мини-алгоритм для похожего задания: найди \(D(y)\) → посмотри, куда уходят ветви (это \(E(y)\)) → отметь пересечения с \(Ox\) (нули) → определи, где график выше/ниже оси (знаки) → пройди слева направо (возрастание/убывание) → отметь вершины горбов и ям (экстремумы) → проверь, согласуются ли найденные числа с сеткой.
Обсуждение
1 сообщениедолго ещё ждать или чт
