Реши задание на изображении
Краткие ответы (Вариант 4)
- а) \(0{,}04\); б) \(3\); в) \(2^{21}=2\,097\,152\).
- а) \(a^3\); б) \(\dfrac{12x}{y^2}\).
- а) \(16x^4y^6\); б) \(\dfrac{27x^{13}}{5y^3}\).
- \(64\).
- \(1{,}55\cdot10^{18}\).
Как решать
Используем свойства степеней:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}, \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
1. Значение выражений
а)
\[
5^{21}\cdot5^{-23}=5^{21+(-23)}=5^{-2}=\frac1{25}=0{,}04.
\]
б)
\[
3^{-8}:3^{-9}=3^{-8-(-9)}=3^1=3.
\]
в)
\[
(2^7)^3=2^{7\cdot3}=2^{21}=2\,097\,152.
\]
2. Упростить
а)
\[
(a^{-3})^5\cdot a^{18}=a^{-15}\cdot a^{18}=a^3.
\]
б)
\[
2{,}4x^{-8}y^5\cdot5x^9y^{-7}
=(2{,}4\cdot5)x^{-8+9}y^{5-7}
=12xy^{-2}
=\frac{12x}{y^2}.
\]
3. Преобразовать
а)
\[
\left(\frac14x^{-2}y^{-3}\right)^{-2}
=\left(\frac14\right)^{-2}x^4y^6
=16x^4y^6.
\]
б)
\[
\frac{5x^{-4}}{3y^{-2}}
=\frac53x^{-4}y^2.
\]
Возводим в степень \(-2\):
\[ \left(\frac53x^{-4}y^2\right)^{-2} =\frac{9}{25}x^8y^{-4}. \]
Умножаем на \(15x^5y\):
\[ \frac{9}{25}x^8y^{-4}\cdot15x^5y =\frac{135}{25}x^{13}y^{-3} =\frac{27}{5}x^{13}y^{-3} =\frac{27x^{13}}{5y^3}. \]
4. Вычислить
\[ \frac{4^{-6}\cdot16^{-3}}{64^{-5}} \]
Так как \(16=4^2\), а \(64=4^3\):
\[ 16^{-3}=(4^2)^{-3}=4^{-6}, \] \[ 64^{-5}=(4^3)^{-5}=4^{-15}. \]
Получаем:
\[ \frac{4^{-6}\cdot4^{-6}}{4^{-15}} =\frac{4^{-12}}{4^{-15}} =4^{-12-(-15)} =4^3=64. \]
5. Стандартный вид числа
\[ (2{,}5\cdot10^7)\cdot(6{,}2\cdot10^{10}) =(2{,}5\cdot6{,}2)\cdot10^{7+10} =15{,}5\cdot10^{17}. \]
В стандартном виде коэффициент должен быть от \(1\) до \(10\):
\[ 15{,}5\cdot10^{17}=1{,}55\cdot10^{18}. \]
