593–597-кенен, кадам-кадам чечүү

Сүрөттө 593–597-номерлер көрүнүп турат; 598–602 кадрга кирген эмес.

1. Керектүү теория

Квадраттык теңдеменин жалпы түрү: \[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq 0 \]

Дискриминант: \[ D=b^2-4ac \]

Тамырлардын формуласы: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

Эрежелер:

Дискриминант	Канча тамыр	Эскертүү
\(D>0\)	2 тамыр	\(x_1\neq x_2\)
\(D=0\)	1 тамыр	\(x=-\dfrac{b}{2a}\)
\(D<0\)	чыныгы тамыр жок	чыныгы сандарда жооп «тамыр жок»

Виет теоремасы (эгер \(a=1\), б. а. \(x^2+px+q=0\)): \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q \] Бул — табылган тамырларды текшерүүнүн эң ылдам жолу.

---

№ 593

1) \(2x^2+3x+1=0\)

Бул жерде \(a=2,\ b=3,\ c=1\).

\[ D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1 \] \[ \sqrt{D}=\sqrt{1}=1 \]

Формулага коёбуз: \[ x=\frac{-3\pm 1}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm 1}{4} \]

• плюс менен: \(x_1=\dfrac{-3+1}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac12\)
• минус менен: \(x_2=\dfrac{-3-1}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1\)

Текшерүү: \(x=-1\): \(2\cdot 1+3\cdot(-1)+1=2-3+1=0\) ✓

Жооп: \(x_1=-1,\quad x_2=-\dfrac12\).

---

2) \(2x^2+x+2=0\)

\(a=2,\ b=1,\ c=2\).

\[ D=1^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15 \]

\(D<0\), демек чыныгы тамыр жок.

Эгер комплекстүү сандарды өткөн болсоң: \[ x=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{4} \]

Жооп: чыныгы сандарда тамыр жок.

---

3) \(4x^2+4x+1=0\)

\(a=4,\ b=4,\ c=1\).

\[ D=4^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0 \]

\(D=0\) болгондуктан бир гана тамыр бар: \[ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 4}=-\frac{4}{8}=-\frac12 \]

Эскертүү: бул теңдеме толук квадрат: \[ 4x^2+4x+1=(2x+1)^2=0 \]

Жооп: \(x=-\dfrac12\).

---

4) \(x^2+5x-6=0\)

\(a=1,\ b=5,\ c=-6\).

\[ D=5^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25+24=49 \] \[ \sqrt{D}=7 \]

\[ x=\frac{-5\pm 7}{2} \]

• \(x_1=\dfrac{-5+7}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
• \(x_2=\dfrac{-5-7}{2}=\dfrac{-12}{2}=-6\)

Виет менен текшерүү: \(1+(-6)=-5\) ✓, \(1\cdot(-6)=-6\) ✓

Жооп: \(x_1=1,\quad x_2=-6\).

---

№ 594

1) \(x^2-5x+6=0\)

\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\qquad \sqrt{D}=1 \] \[ x=\frac{5\pm 1}{2} \] \[ x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2 \]

Виет: \(3+2=5\), \(3\cdot 2=6\) ✓

Жооп: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

---

2) \(x^2-4x-5=0\)

\(a=1,\ b=-4,\ c=-5\).

\[ D=16-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,\qquad \sqrt{D}=6 \] \[ x=\frac{4\pm 6}{2} \] \[ x_1=\frac{10}{2}=5,\qquad x_2=\frac{-2}{2}=-1 \]

Виет: \(5+(-1)=4\) ✓, \(5\cdot(-1)=-5\) ✓

Жооп: \(x_1=-1,\quad x_2=5\).

---

3) \(y^2-14y+48=0\)

\(a=1,\ b=-14,\ c=48\).

\[ D=196-4\cdot 1\cdot 48=196-192=4,\qquad \sqrt{D}=2 \] \[ y=\frac{14\pm 2}{2} \] \[ y_1=\frac{16}{2}=8,\qquad y_2=\frac{12}{2}=6 \]

Жооп: \(y_1=6,\quad y_2=8\).

---

4) \(5x^2-11x+2=0\)

\(a=5,\ b=-11,\ c=2\).

\[ D=(-11)^2-4\cdot 5\cdot 2=121-40=81,\qquad \sqrt{D}=9 \] \[ x=\frac{11\pm 9}{10} \] \[ x_1=\frac{20}{10}=2,\qquad x_2=\frac{2}{10}=\frac15 \]

Жооп: \(x_1=\dfrac15,\quad x_2=2\).

---

5) \(2y^2-y-5=0\)

\(a=2,\ b=-1,\ c=-5\).

\[ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-5)=1+40=41 \]

\(41\) — толук квадрат эмес, ошондуктан тамырдан чыгарбайбыз: \[ \sqrt{D}=\sqrt{41} \] \[ y=\frac{-(-1)\pm\sqrt{41}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm\sqrt{41}}{4} \]

Жооп: \(y=\dfrac{1\pm\sqrt{41}}{4}\), б. а. \(y_1=\dfrac{1+\sqrt{41}}{4},\ y_2=\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}\).

---

6) \(16x^2-8x+1=0\)

\(a=16,\ b=-8,\ c=1\).

\[ D=64-4\cdot 16\cdot 1=64-64=0 \]

\[ x=-\frac{-8}{2\cdot 16}=\frac{8}{32}=\frac14 \]

Толук квадрат: \(16x^2-8x+1=(4x-1)^2=0\).

Жооп: \(x=\dfrac14\).

---

№ 595 (алгач жөнөкөйлөштүрүү керек)

Бул номерде теңдемелер дароо стандарттуу түрдө берилген эмес. Эреже: бардык мүчөлөрдү бир тарапка өткөрүп, \(=0\) калтырабыз.

1) \(4+4y=y^2+y\)

Оң жакты солго өткөрөбүз: \[ 4+4y-y^2-y=0 \] \[ -y^2+3y+4=0 \]

Ыңгайлуу болушу үчүн \(-1\)-ге көбөйтөбүз: \[ y^2-3y-4=0 \]

\(a=1,\ b=-3,\ c=-4\): \[ D=9-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25,\qquad \sqrt{D}=5 \] \[ y=\frac{3\pm 5}{2} \] \[ y_1=\frac{8}{2}=4,\qquad y_2=\frac{-2}{2}=-1 \]

Текшерүү: \(y=4\): \(4+16=20\) жана \(16+4=20\) ✓

Жооп: \(y_1=-1,\quad y_2=4\).

---

2) \(33-11x+x^2=3x\)

\[ x^2-11x-3x+33=0 \] \[ x^2-14x+33=0 \]

\(a=1,\ b=-14,\ c=33\): \[ D=196-4\cdot 1\cdot 33=196-132=64,\qquad \sqrt{D}=8 \] \[ x=\frac{14\pm 8}{2} \] \[ x_1=\frac{22}{2}=11,\qquad x_2=\frac{6}{2}=3 \]

Жооп: \(x_1=3,\quad x_2=11\).

---

3) \(a^2+a+10=10a\)

\[ a^2+a-10a+10=0 \] \[ a^2-9a+10=0 \]

\(a=1,\ b=-9,\ c=10\): \[ D=81-4\cdot 1\cdot 10=81-40=41 \] \[ a=\frac{9\pm\sqrt{41}}{2} \]

Жооп: \(a=\dfrac{9\pm\sqrt{41}}{2}\).

---

4) \(6-2z=z^2-3z\)

\[ 0=z^2-3z-6+2z \] \[ z^2-z-6=0 \]

\(a=1,\ b=-1,\ c=-6\): \[ D=1-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5 \] \[ z=\frac{1\pm 5}{2} \] \[ z_1=\frac{6}{2}=3,\qquad z_2=\frac{-4}{2}=-2 \]

Виет: \(3+(-2)=1\) ✓, \(3\cdot(-2)=-6\) ✓

Жооп: \(z_1=-2,\quad z_2=3\).

---

№ 596

1) \(22x=6-8x^2\)

Бардыгын солго өткөрөбүз: \[ 22x-6+8x^2=0 \] \[ 8x^2+22x-6=0 \]

Үч коэффициент тең 2ге бөлүнөт, ошондуктан 2ге кыскартабыз (тамырлар өзгөрбөйт): \[ 4x^2+11x-3=0 \]

\(a=4,\ b=11,\ c=-3\): \[ D=121-4\cdot 4\cdot(-3)=121+48=169 \] \[ \sqrt{D}=13 \] \[ x=\frac{-11\pm 13}{8} \] \[ x_1=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad x_2=\frac{-24}{8}=-3 \]

Текшерүү: \(x=-3\): \(22\cdot(-3)=-66\); \(6-8\cdot 9=6-72=-66\) ✓

Жооп: \(x_1=-3,\quad x_2=\dfrac14\).

---

2) \(x^2+45=14x\)

\[ x^2+45-14x=0 \] \[ x^2-14x+45=0 \]

\(a=1,\ b=-14,\ c=45\): \[ D=196-4\cdot 1\cdot 45=196-180=16,\qquad \sqrt{D}=4 \] \[ x=\frac{14\pm 4}{2} \] \[ x_1=\frac{18}{2}=9,\qquad x_2=\frac{10}{2}=5 \]

Жооп: \(x_1=5,\quad x_2=9\).

---

3) \(5t+2=3t^2\)

\[ 0=3t^2-5t-2 \] \[ 3t^2-5t-2=0 \]

\(a=3,\ b=-5,\ c=-2\): \[ D=25-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49,\qquad \sqrt{D}=7 \] \[ t=\frac{5\pm 7}{6} \] \[ t_1=\frac{12}{6}=2,\qquad t_2=\frac{-2}{6}=-\frac13 \]

Жооп: \(t_1=-\dfrac13,\quad t_2=2\).

---

4) \(x^2+30+11x=0\)

Мүчөлөрдү ирети менен жазабыз: \[ x^2+11x+30=0 \]

\(a=1,\ b=11,\ c=30\): \[ D=121-4\cdot 1\cdot 30=121-120=1,\qquad \sqrt{D}=1 \] \[ x=\frac{-11\pm 1}{2} \] \[ x_1=\frac{-10}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-12}{2}=-6 \]

Виет: \(-5+(-6)=-11\) ✓, \((-5)\cdot(-6)=30\) ✓

Жооп: \(x_1=-6,\quad x_2=-5\).

---

№ 597

1) \(8x^2-14x+5=0\)

\(a=8,\ b=-14,\ c=5\): \[ D=196-4\cdot 8\cdot 5=196-160=36,\qquad \sqrt{D}=6 \] \[ x=\frac{14\pm 6}{16} \] \[ x_1=\frac{20}{16}=\frac54,\qquad x_2=\frac{8}{16}=\frac12 \]

Жооп: \(x_1=\dfrac12,\quad x_2=\dfrac54\).

---

2) \(12x^2+16x-3=0\)

\(a=12,\ b=16,\ c=-3\): \[ D=256-4\cdot 12\cdot(-3)=256+144=400,\qquad \sqrt{D}=20 \] \[ x=\frac{-16\pm 20}{24} \] \[ x_1=\frac{4}{24}=\frac16,\qquad x_2=\frac{-36}{24}=-\frac32 \]

Жооп: \(x_1=-\dfrac32,\quad x_2=\dfrac16\).

---

3) \(4x^2+4x+1=0\)

\[ D=16-16=0 \] \[ x=-\frac{4}{8}=-\frac12 \]

Бул \((2x+1)^2=0\).

Жооп: \(x=-\dfrac12\).

---

4) \(x^2-8x-84=0\)

\(a=1,\ b=-8,\ c=-84\): \[ D=64-4\cdot 1\cdot(-84)=64+336=400,\qquad \sqrt{D}=20 \] \[ x=\frac{8\pm 20}{2} \] \[ x_1=\frac{28}{2}=14,\qquad x_2=\frac{-12}{2}=-6 \]

Жооп: \(x_1=-6,\quad x_2=14\).

---

5) \(x^2+6x-19=0\)

\(a=1,\ b=6,\ c=-19\): \[ D=36-4\cdot 1\cdot(-19)=36+76=112 \]

\(112=16\cdot 7\), демек: \[ \sqrt{D}=\sqrt{16\cdot 7}=4\sqrt{7} \] \[ x=\frac{-6\pm 4\sqrt{7}}{2}=-3\pm 2\sqrt{7} \]

Жооп: \(x=-3\pm 2\sqrt{7}\).

---

6) \(5x^2+26x-24=0\)

\(a=5,\ b=26,\ c=-24\): \[ D=26^2-4\cdot 5\cdot(-24)=676+480=1156 \] \[ \sqrt{D}=\sqrt{1156}=34\quad(\text{анткени }34^2=1156) \] \[ x=\frac{-26\pm 34}{10} \] \[ x_1=\frac{8}{10}=\frac45,\qquad x_2=\frac{-60}{10}=-6 \]

Жооп: \(x_1=-6,\quad x_2=\dfrac45\).

---

7) \(x^2-34x+289=0\)

\(a=1,\ b=-34,\ c=289\): \[ D=34^2-4\cdot 1\cdot 289=1156-1156=0 \] \[ x=\frac{34}{2}=17 \]

Бул \((x-17)^2=0\), анткени \(17^2=289\).

Жооп: \(x=17\).

---

8) \(3x^2+32x+80=0\)

\(a=3,\ b=32,\ c=80\): \[ D=32^2-4\cdot 3\cdot 80=1024-960=64,\qquad \sqrt{D}=8 \] \[ x=\frac{-32\pm 8}{6} \] \[ x_1=\frac{-24}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-40}{6}=-\frac{20}{3} \]

Текшерүү: \(x=-4\): \(3\cdot 16+32\cdot(-4)+80=48-128+80=0\) ✓

Жооп: \(x_1=-4,\quad x_2=-\dfrac{20}{3}\).

---

Жалпы алгоритм (кийинки окшош тапшырмаларга)

1. Стандарттуу түргө келтирүү: бардык мүчөлөрдү сол жакка өткөрүп, оң жакта \(0\) калтыр.
2. Кыскартуу: эгер бардык коэффициенттер жалпы санга бөлүнсө, бөлүп кой — эсептөө жеңилдейт.
3. \(a,\ b,\ c\)-ны жазып алуу (белгилери менен! — бул жерде көп ката кетет).
4. \(D=b^2-4ac\) эсептөө.
5. \(D\)-нин белгисин кароо:
   • \(D>0\) → эки тамыр;
   • \(D=0\) → бир тамыр \(x=-\dfrac{b}{2a}\);
   • \(D<0\) → чыныгы тамыр жок.
6. Формулага коюу жана жоопту жазуу.
7. Текшерүү: тамырларды баштапкы теңдемеге коюу же Виет теоремасы менен салыштыруу.

Керек болсо, ушул эле ыкма менен 598–602-номерлерди да чечип бере алам — сүрөтүн жөнөтсөң болот.