Реши задание на изображении
Кратко:
\[ 9.\quad\text{а) }\sqrt{3(c-2)^3}\quad(c\ge2);\qquad \text{б) }-\sqrt{5(9-n)^3}\quad(n\le9). \]
\[ 10.\quad\text{а) }\sqrt6-1;\qquad \text{б) }\sqrt3+1;\qquad \text{в) }3+\sqrt2. \]
9. Внесение множителя под корень
Правило:
\[ a\sqrt b= \begin{cases} \sqrt{a^2b}, & a\ge0,\\ -\sqrt{a^2b}, & a<0. \end{cases} \]
а) \((c-2)\sqrt{3c-6}\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ 3c-6\ge0 \Rightarrow c\ge2. \]
Значит, \(c-2\ge0\), поэтому знак не меняется:
\[ (c-2)\sqrt{3c-6} =\sqrt{(c-2)^2(3c-6)}. \]
Так как \(3c-6=3(c-2)\),
\[ (c-2)\sqrt{3c-6}=\sqrt{3(c-2)^3}. \]
б) \((n-9)\sqrt{45-5n}\)
\[ 45-5n\ge0 \Rightarrow n\le9. \]
При этом \(n-9\le0\), то есть множитель отрицательный. Поэтому перед корнем появится минус:
\[ (n-9)\sqrt{45-5n} =-\sqrt{(n-9)^2(45-5n)}. \]
Поскольку \(45-5n=5(9-n)\), получаем:
\[ (n-9)\sqrt{45-5n} =-\sqrt{5(9-n)^3}. \]
10. Упрощение выражений с вложенными корнями
Основной приём: представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы или разности.
\[ (\sqrt m+\sqrt n)^2=m+n+2\sqrt{mn}. \]
а) \(\sqrt{7-\sqrt{24}}\)
\[ \sqrt{24}=2\sqrt6, \]
поэтому
\[ 7-\sqrt{24}=7-2\sqrt6=(\sqrt6-1)^2. \]
Корень из квадрата равен модулю, но \(\sqrt6-1>0\), поэтому:
\[ \boxed{\sqrt6-1}. \]
б) \(\sqrt{\sqrt{28+16\sqrt3}}\)
Сначала:
\[ 28+16\sqrt3=(4+2\sqrt3)^2. \]
Значит,
\[ \sqrt{28+16\sqrt3}=4+2\sqrt3. \]
Далее:
\[ 4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\sqrt3+1}. \]
в) \(\sqrt{17+6\sqrt{4-\sqrt{9+4\sqrt2}}}\)
Идём от самого внутреннего корня:
\[ 9+4\sqrt2=(2\sqrt2+1)^2, \]
поэтому
\[ \sqrt{9+4\sqrt2}=2\sqrt2+1. \]
Тогда
\[ 4-(2\sqrt2+1)=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2, \]
значит,
\[ \sqrt{4-\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt2-1. \]
Теперь подставляем:
\[ 17+6(\sqrt2-1)=11+6\sqrt2=(3+\sqrt2)^2. \]
Остаётся внешний корень:
\[ \boxed{3+\sqrt2}. \]
Проверка принципа: во всех пунктах 10 мы записывали подкоренное выражение как точный квадрат, а затем извлекали корень. Такой способ работает, когда под корнем удаётся «узнать» выражение вида \(m+n\pm2\sqrt{mn}\).
