Реши задание на изображении
Краткий ответ: скорость альпиниста с грузом — примерно 2,4 м/с.
Как решать
Обозначим:
- \(m=12\) кг,
- \(\mu=0{,}69\),
- \(\alpha=30^\circ\) — уклон горы,
- \(\beta=30^\circ\) — угол верёвки к поверхности склона,
- \(P=226\) Вт,
- \(g\approx10\) м/с².
Груз движется с постоянной скоростью, значит силы вдоль склона уравновешены.
По оси вдоль склона:
\[ T\cos\beta=mg\sin\alpha+F_{\text{тр}} \]
По оси перпендикулярно склону:
\[ N+T\sin\beta=mg\cos\alpha \]
то есть верёвка немного «поднимает» груз над склоном и уменьшает силу нормального давления:
\[ N=mg\cos\alpha-T\sin\beta \]
Сила трения:
\[ F_{\text{тр}}=\mu N \]
Подставляем:
\[ T\cos\beta=mg\sin\alpha+\mu(mg\cos\alpha-T\sin\beta) \]
\[ T(\cos\beta+\mu\sin\beta)=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha) \]
\[ T=\frac{mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)} {\cos\beta+\mu\sin\beta} \]
Считаем:
\[ T\approx\frac{12\cdot10(0{,}5+0{,}69\cdot0{,}866)} {0{,}866+0{,}69\cdot0{,}5} \approx109\ \text{Н} \]
Полезная мощность:
\[ P=T v\cos\beta \]
откуда:
\[ v=\frac{P}{T\cos\beta} \]
\[ v\approx\frac{226}{109\cdot0{,}866} \approx2{,}4\ \text{м/с} \]
Ответ: \(\boxed{2{,}4\ \text{м/с}}\).
Проверка: сила трения при таком натяжении положительна, а \(T\cos30^\circ\) как раз уравновешивает скатывающую силу и трение — решение согласовано.
Обсуждение
3 сообщенияОтвет: масса груза увеличится в 1,41 раза.
Решение
Пусть:
- \(\alpha=30^\circ\) — уклон горы,
- \(\beta=30^\circ\) — угол верёвки к поверхности склона,
- \(\mu=0{,}71\),
- \(v=1{,}9\) м/с,
- \(P=232\) Вт.
Для равномерного движения груза вдоль склона:
\[ T\cos\beta=mg\sin\alpha+\mu N \]
Перпендикулярно склону:
\[ N=mg\cos\alpha-T\sin\beta \]
Тогда:
\[ T(\cos\beta+\mu\sin\beta)=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha) \]
Мощность:
\[ P=Tv\cos\beta \]
Отсюда для начального случая, когда верёвка параллельна склону (\(\beta=0\)):
\[ m_1=\frac{P}{gv(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)} \]
Для случая \(\beta=30^\circ\):
\[ m_2=\frac{P(\cos\beta+\mu\sin\beta)} {gv\cos\beta(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)} \]
Их отношение:
\[ \frac{m_2}{m_1} = \frac{\cos\beta+\mu\sin\beta}{\cos\beta} = 1+\mu\tan\beta \]
Подставляем:
\[ \frac{m_2}{m_1} = 1+0{,}71\cdot \tan30^\circ \approx 1+0{,}71\cdot0{,}577 \approx1{,}41 \]
Значит, при наклонной верёвке можно везти груз большей массы при той же мощности и скорости.
В ответе:
\[
\boxed{\text{увеличится в }1{,}41\text{ раза}}
\]
В поле нужно выбрать «увеличится» и вписать 1,41.
