виконати завдання до кожного зробити малюнок та пояснити як це робити ще має бути розв'язано як по формулах що на картинці

Коротко (усе в см, площі — см², об’єми — см³):

1. \(S_{\text{біч}}=60\), \(S_{\text{повн}}=96\), \(V=48\);
2. \(V=6\sqrt3\);
3. \(l=6\), \(S_{\text{біч}}=72\), \(V=36\sqrt3\);
4. \(S_{\text{біч}}=260\), \(V=400\);
5. \(S_{\text{повн}}=144\).

---

Формули, які треба застосувати

\[ V=\frac13 S_{\text{осн}}h,\qquad S_{\text{біч}}=\frac12 P_{\text{осн}}l,\qquad S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}. \]

Позначення: \(a\) — сторона основи, \(P_{\text{осн}}\) — периметр основи, \(h=SO\) — висота піраміди, \(l=SM\) — апофема, тобто висота бічної грані.

Для правильної чотирикутної піраміди: \[ P_{\text{осн}}=4a,\qquad S_{\text{осн}}=a^2,\qquad OM=\frac a2, \] \[ l^2=h^2+\left(\frac a2\right)^2. \]

Для правильної трикутної піраміди основа — рівносторонній трикутник: \[ S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad R=OA=\frac a{\sqrt3}, \] де \(R\) — радіус описаного кола основи.

---

№ 1

Малюнок: \(SABCD\) — правильна чотирикутна піраміда, \(O\) — центр квадрата, \(M\) — середина \(AB\). Осьовий переріз:

        S
       /|\
      / | \
     M--O--N

Тут \(SO=4\), \(OM=6:2=3\), \(SM=l\).

\[ l=\sqrt{SO^2+OM^2} =\sqrt{4^2+3^2} =\sqrt{25}=5. \]

\[ P_{\text{осн}}=4\cdot6=24,\qquad S_{\text{осн}}=6^2=36. \]

\[ S_{\text{біч}}=\frac12\cdot24\cdot5=60. \]

\[ S_{\text{повн}}=60+36=96. \]

\[ V=\frac13\cdot36\cdot4=48. \]

Відповідь: \(60\text{ см}^2,\ 96\text{ см}^2,\ 48\text{ см}^3\).

---

№ 2

Малюнок: \(SABC\) — правильна трикутна піраміда, \(O\) — центр основи. Розглядаємо прямокутний трикутник \(SOA\), де \(SA=4\) — бічне ребро, \(OA=R\), \(SO=h\).

        S
        |\
        | \
      h |  \ 4
        |   \
        O----A
           R

Сторона основи \(a=6\).

\[ S_{\text{осн}}=\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3. \]

\[ R=OA=\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3. \]

\[ h=\sqrt{SA^2-OA^2} =\sqrt{4^2-(2\sqrt3)^2} =\sqrt{16-12}=2. \]

\[ V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2=6\sqrt3. \]

Відповідь: \(6\sqrt3\text{ см}^3\).

---

№ 3

Малюнок такий самий, як у № 1, але кут між бічною гранню і основою дорівнює \(60^\circ\). Це кут \(\angle SMO\), бо \(SM\perp AB\) і \(OM\perp AB\).

        S
       /|\
      / | \
     M--O--N
        ∠SMO = 60°

\[ a=6,\qquad OM=\frac a2=3. \]

\[ \cos60^\circ=\frac{OM}{SM} \Rightarrow SM=\frac3{\cos60^\circ}=\frac3{0{,}5}=6. \]

Отже, апофема:

\[ l=6\text{ см}. \]

Висота:

\[ h=SO=SM\sin60^\circ =6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3. \]

\[ P_{\text{осн}}=4\cdot6=24,\qquad S_{\text{осн}}=36. \]

\[ S_{\text{біч}}=\frac12\cdot24\cdot6=72. \]

\[ V=\frac13\cdot36\cdot3\sqrt3=36\sqrt3. \]

Відповідь: \(l=6\text{ см},\ S_{\text{біч}}=72\text{ см}^2,\ V=36\sqrt3\text{ см}^3\).

---

№ 4

Малюнок: осьовий переріз правильної чотирикутної піраміди:

        S
       /|\
      / | \
     M--O--N
        MN=10, SM=13

\[ a=10,\qquad OM=\frac{10}{2}=5,\qquad l=SM=13. \]

\[ h=SO=\sqrt{SM^2-OM^2} =\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25}=12. \]

\[ P_{\text{осн}}=4\cdot10=40,\qquad S_{\text{осн}}=10^2=100. \]

\[ S_{\text{біч}}=\frac12\cdot40\cdot13=260. \]

\[ V=\frac13\cdot100\cdot12=400. \]

Відповідь: \(S_{\text{біч}}=260\text{ см}^2,\ V=400\text{ см}^3\).

---

№ 5

Малюнок:

        S
       /|\
      / | \
     M--O--N
        SO=3, OM=4

\[ a=8,\qquad OM=\frac82=4,\qquad SO=h=3. \]

\[ l=SM=\sqrt{3^2+4^2}=5. \]

\[ P_{\text{осн}}=4\cdot8=32,\qquad S_{\text{осн}}=8^2=64. \]

\[ S_{\text{біч}}=\frac12\cdot32\cdot5=80. \]

\[ S_{\text{повн}}=80+64=144. \]

Відповідь: \(S_{\text{повн}}=144\text{ см}^2\).

---

Як робити схоже завдання

1. Намалюй правильну піраміду; висота \(SO\) падає в центр основи.
2. Проведи апофему \(SM\) до середини сторони основи.
3. У прямокутному трикутнику \(SOM\) знай невідоме: \[ l^2=h^2+\left(\frac a2\right)^2. \]
4. Для трикутної піраміди висоту зручно шукати через бічне ребро й радіус описаного кола основи: \[ h^2=b^2-R^2,\qquad R=\frac a{\sqrt3}. \]
5. Далі підставляй у формули: \[ S_{\text{біч}}=\frac12P_{\text{осн}}l,\qquad S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}},\qquad V=\frac13S_{\text{осн}}h. \]

Перевірка: усі знайдені прямокутні трикутники задовольняють теорему Піфагора, а відповіді № 1–3 збігаються з даними в умові.