Реши задание на изображении
Область определения \(D(y)\) — это все \(x\), при которых выражение имеет смысл.
Ответы
Первый блок
а) \(y=\dfrac{3x-2}{5x+3}\):
\[
5x+3\ne0 \Rightarrow x\ne -\frac35,
\]
\[
D(y)=\left(-\infty;-\frac35\right)\cup\left(-\frac35;+\infty\right).
\]
б) \(y=\dfrac{6}{x^2-16}\):
\[
x^2-16\ne0 \Rightarrow x\ne \pm4,
\]
\[
D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty).
\]
в) \(y=\dfrac{5+6x}{2x-4}\):
\[
2x-4\ne0 \Rightarrow x\ne2,
\]
\[
D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).
\]
г) \(y=\dfrac{7}{25-x^2}\):
\[
25-x^2\ne0 \Rightarrow x\ne \pm5,
\]
\[
D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).
\]
Второй блок
а) \(y=\sqrt{x^2-3x+2}\):
\[
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge0.
\]
Корни \(1\) и \(2\), ветви параболы вверх, значит:
\[
D(y)=(-\infty;1]\cup[2;+\infty).
\]
б) \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}\):
под корнем должно быть строго больше нуля:
\[
x^2-4>0 \Rightarrow |x|>2,
\]
\[
D(y)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).
\]
в) \(y=\sqrt{x^2+4x-12}\):
\[
x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\ge0,
\]
\[
D(y)=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty).
\]
г) \(y=\sqrt{\dfrac{3}{49-x^2}}\):
числитель \(3>0\), поэтому нужно:
\[
49-x^2>0 \Rightarrow x^2<49 \Rightarrow -7<x<7,
\]
\[
D(y)=(-7;7).
\]
Третий блок
а) \[ y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2{,}5x}}. \] Нужно одновременно: \[ 2x-4\ge0 \Rightarrow x\ge2, \] \[ 10-2{,}5x>0 \Rightarrow x<4. \] Значит: \[ D(y)=[2;4). \]
Главное правило
- Если \(x\) стоит в знаменателе, то знаменатель не равен нулю.
- Если выражение под квадратным корнем, то оно должно быть \(\ge0\).
- Если корень стоит в знаменателе, то подкоренное выражение должно быть строго \(>0\).
Проверка границ: например, в задании \(y=\sqrt{x^2-3x+2}\) при \(x=1\) под корнем получается \(0\), это допустимо, поэтому \(1\) включается. А в \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}\) при \(x=2\) знаменатель обращается в \(0\), поэтому \(2\) не включается.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни как это решать самому
Главное: область определения — это все \(x\), при которых каждое действие в формуле можно выполнить.
Смотри на формулу и выписывай ограничения:
Знаменатель
\[ \frac{A}{B}\quad\Rightarrow\quad B\ne0. \] Знаменатель никогда не равен нулю.Корень чётной степени, например \(\sqrt{A}\):
\[ A\ge0. \] Под корнем может быть нуль, поэтому неравенство нестрогое.Корень в знаменателе:
\[ \frac{1}{\sqrt{A}}\quad\Rightarrow\quad A>0. \] Здесь подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: если \(A=0\), знаменатель обнулится.Если в формуле несколько ограничений, нужно взять их пересечение — те \(x\), которые подходят одновременно ко всем условиям.
Как решать по шагам
Шаг 1. Найди все «опасные места».
Знаменатели, корни, корни в знаменателе.
Шаг 2. Запиши условия.
Шаг 3. Реши каждое неравенство или уравнение.
Шаг 4. Нанеси числа на числовую прямую и выбери нужные промежутки.
Шаг 5. Проверь границы:
- если было \(B\ne0\), точку выкалываем;
- если было \(A\ge0\), нули под корнем включаем;
- если было \(A>0\), нули не включаем.
Пример 1. Только знаменатель
\[ y=\frac{6}{x^2-16}. \]
Знаменатель не равен нулю:
\[ x^2-16\ne0, \] \[ x\ne4,\quad x\ne-4. \]
Ответ:
\[ D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty). \]
Точки \(-4\) и \(4\) выколоты, потому что при них знаменатель равен нулю.
Пример 2. Корень
\[ y=\sqrt{x^2-3x+2}. \]
Нужно:
\[ x^2-3x+2\ge0. \]
Раскладываем:
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]
Решаем:
\[ (x-1)(x-2)\ge0. \]
Корни — \(1\) и \(2\). На числовой прямой получаем знаки:
\[ + \quad \text{на }(-\infty;1),\qquad - \quad \text{на }(1;2),\qquad + \quad \text{на }(2;+\infty). \]
Нам нужны «плюсы»:
\[ D(y)=(-\infty;1]\cup[2;+\infty). \]
Точки \(1\) и \(2\) включены, потому что под корнем разрешён нуль.
Пример 3. Корень в знаменателе
\[ y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}. \]
Здесь под корнем должно быть не просто \(\ge0\), а строго больше нуля:
\[ x^2-4>0, \] \[ (x-2)(x+2)>0. \]
Значит:
\[ x<-2\quad\text{или}\quad x>2. \]
Ответ:
\[ D(y)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty). \]
Здесь \(2\) и \(-2\) не включаются: при них знаменатель стал бы нулём.
Пример 4. Несколько условий сразу
\[ y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2{,}5x}}. \]
Первое условие:
\[ 2x-4\ge0\Rightarrow x\ge2. \]
Второе:
\[ 10-2{,}5x>0\Rightarrow x<4. \]
Оба условия должны выполняться одновременно:
\[ x\ge2\quad\text{и}\quad x<4. \]
Значит:
\[ D(y)=[2;4). \]
Полезная привычка
Не сокращай дробь до того, как найдёшь область определения. Например,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
нельзя сразу заменить на \(x+1\): исходная функция не существует при \(x=1\). Область определения определяется по исходной записи.
