Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(2{,}3\); б) \(3\); в) \(0{,}8\); г) \(0{,}04\); д) \(3\); е) \(\frac{1}{64}\).
- а) \(a^3\); б) \(\frac{12x}{y^2}\).
- а) \(x=\pm0{,}3\); б) \(x=\pm2\sqrt{23}\).
- а) \(3\); б) \(42\); в) \(4\); г) \(56\).
- \(64\).
- \(y>-3\), или \(y\in(-3;+\infty)\).
Как это получается
1. Вычисления с корнями и степенями
а)
\[
\frac16\sqrt{144}+\frac13\sqrt{0{,}81}
=\frac16\cdot12+\frac13\cdot0{,}9
=2+0{,}3=2{,}3.
\]
б)
\[
\sqrt{\frac{81}{169}}=\frac{9}{13},\qquad
1{,}3\cdot\frac{9}{13}=\frac{13}{10}\cdot\frac{9}{13}=0{,}9,
\]
поэтому \(2{,}1+0{,}9=3\).
в)
\[
(0{,}4\sqrt5)^2=0{,}4^2\cdot(\sqrt5)^2=0{,}16\cdot5=0{,}8.
\]
Для степеней используем: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
г)
\[
5^{21}\cdot5^{-23}=5^{21-23}=5^{-2}=\frac1{25}=0{,}04.
\]
д)
\[
3^{-8}:3^{-9}=3^{-8-(-9)}=3^1=3.
\]
е)
\[
(2^2)^{-3}=2^{-6}=\frac1{64}.
\]
2. Упрощение выражений
а)
\[
(a^{-3})^5\cdot a^{18}=a^{-15}\cdot a^{18}=a^{18-15}=a^3.
\]
б)
\[
2{,}4x^{-8}y^5\cdot5x^9y^{-7}
=12x^{-8+9}y^{5-7}
=12xy^{-2}
=\frac{12x}{y^2}.
\]
3. Уравнения вида \(x^2=d\)
Если \(d>0\), то уравнение имеет два корня: \[ x=\pm\sqrt d. \]
а)
\[
x^2=0{,}09 \quad\Rightarrow\quad x=\pm0{,}3.
\]
б)
\[
x^2=92 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{92}
=\pm\sqrt{4\cdot23}
=\pm2\sqrt{23}.
\]
4. Значения выражений с корнями
Используем свойства: \[ \sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}. \]
а)
\[
\sqrt{225\cdot0{,}04}
=15\cdot0{,}2=3.
\]
б)
\[
\sqrt{28}\cdot\sqrt{63}
=\sqrt{28\cdot63}
=\sqrt{1764}=42.
\]
в)
\[
\frac{\sqrt{48}}{\sqrt3}
=\sqrt{\frac{48}{3}}
=\sqrt{16}=4.
\]
г)
\[
\sqrt{2^6\cdot7^2}=2^3\cdot7=8\cdot7=56.
\]
5. Вычисление степени
Переведём всё к основанию \(2\): \[ 4=2^2,\qquad 16=2^4,\qquad 64=2^6. \]
Тогда \[ \frac{4^{-6}\cdot16^{-3}}{64^{-5}} = \frac{(2^2)^{-6}\cdot(2^4)^{-3}}{(2^6)^{-5}} = \frac{2^{-12}\cdot2^{-12}}{2^{-30}} = \frac{2^{-24}}{2^{-30}} =2^{-24+30}=2^6=64. \]
6. Область допустимых значений
Выражение \[ \frac{2}{\sqrt{y+3}} \] имеет смысл, если:
- под корнем неотрицательное число: \(y+3\ge0\);
- знаменатель не равен нулю: \(\sqrt{y+3}\ne0\).
Вместе это даёт строгое условие: \[ y+3>0 \quad\Rightarrow\quad y>-3. \]
Проверка:
- \((2\sqrt{23})^2=4\cdot23=92\);
- \(42^2=1764=28\cdot63\);
- \(2^{-24}:2^{-30}=2^6=64\).
Обсуждение
2 сообщенияпочему в первом Задании буква В корень из пяти во 2 степень ты не возвел или не надо?
Надо — и он уже возведён в квадрат. Просто это записано через свойство степени:
\[ (0{,}4\sqrt5)^2=(0{,}4)^2\cdot(\sqrt5)^2. \]
А так как
\[ (\sqrt5)^2=5, \]
получаем:
\[ (0{,}4)^2\cdot5=0{,}16\cdot5=0{,}8. \]
То есть корень не «пропал случайно»: при возведении \(\sqrt5\) в квадрат он как раз превращается в \(5\). Ошибка была бы записать \(0{,}4\cdot5\) — квадрат относится к обоим множителям.
Коротко:
\[ (0{,}4\sqrt5)^2=0{,}4^2\cdot5=0{,}16\cdot5=0{,}8. \]
Ответ: \(0{,}8\).
