Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1 = 2,\quad x_2 = 3\).
Как решать
Способ 1. Через дискриминант
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):
\[ D=b^2-4ac \]
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 2. Через теорему Виета (быстрее, если \(a=1\))
Нужны два числа, у которых:
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]
Это \(2\) и \(3\): сумма \(2+3=5\), произведение \(2\cdot3=6\).
Проверка
Подставим \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Подставим \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Главный принцип: если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один, если \(D<0\) — действительных корней нет. А при \(a=1\) часто удобнее сразу искать числа по теореме Виета.
Обсуждение
2 сообщенияА если дискриминант отрицательный, что делать?
Кратко: если \(D<0\), то действительных корней нет — уравнение в школе решают так: «корней нет» (ответ пустой). Но у уравнения есть два комплексных корня, если вы уже проходили комплексные числа.
Почему действительных корней нет
Корни находятся по формуле
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
а квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не извлекается. Значит, подставить в формулу нечего.
Геометрически: график \(y=ax^2+bx+c\) — парабола. Если \(D<0\), она не пересекает ось \(Ox\) (лежит целиком выше неё при \(a>0\) или целиком ниже при \(a<0\)). А корни уравнения — это как раз точки пересечения с осью \(Ox\). Нет пересечения — нет корней.
Пример
\[ x^2-2x+5=0 \]
\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0 \]
Действительных корней нет. Проверим по-другому — выделим квадрат:
\[ x^2-2x+5=(x-1)^2+4 \]
Так как \((x-1)^2\ge 0\), вся сумма не меньше \(4\), то есть нулю равняться не может. Это ещё одно объяснение, почему корней нет.
Если комплексные числа уже проходили
Тогда \(\sqrt{-16}=4i\), и корни такие:
\[ x_{1,2}=\frac{2\pm4i}{2}=1\pm2i \]
То есть \(x_1=1-2i,\ x_2=1+2i\). Комплексные корни есть всегда (при \(D<0\) их два, и они сопряжённые).
Как отвечать на уроке
- \(D>0\) — два разных действительных корня;
- \(D=0\) — один корень (двукратный): \(x=-\frac{b}{2a}\);
- \(D<0\) — действительных корней нет, писать «корней нет».
Главное: отрицательный дискриминант — не ошибка и не тупик, это просто ответ «корней нет» в действительных числах.
