Реши задание на изображении
На фото отмечены номера 66 и 67. Краткие ответы:
66.
а) \(\boxed{[-4;\,0]\cup[4;+\infty)}\)
б) \(\boxed{\left(-\frac12;\,0\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)}\)
в) \(\boxed{(-\infty;\,-3)\cup(-1;\,1)}\)
г) \(\boxed{[-3;\,3]\cup[4;+\infty)}\)
67.
а) \(\boxed{(-15;\,11)}\)
б) \(\boxed{[-3;\,4]}\)
в) \(\boxed{\left[-\frac32;\,\frac13\right]}\)
г) \(\boxed{\left(\frac34;\,2\right)}\)
Как это получается
Главный приём — метод интервалов:
- Разложить выражение на множители.
- Найти нули — точки, где выражение равно \(0\).
- Отметить их на числовой прямой и определить знак на каждом интервале.
- Если неравенство строгое \(-\) или \(<\), концы не включаем; если нестрогое \(-\) или \(\le\), концы включаем.
Например, в 66а:
\[ x^3-16x=x(x-4)(x+4) \]
Нули: \(-4,\ 0,\ 4\). Знаки по интервалам:
\[ -, \quad +, \quad -, \quad + \]
Нужно \(\ge 0\), поэтому берём «плюсы» и сами нули:
\[ [-4;0]\cup[4;+\infty) \]
В 67б удобно сделать так:
\[ (x+3)(4-x)\ge0 \]
Умножим на \(-1\), поменяв знак неравенства:
\[ (x+3)(x-4)\le0 \]
Корни \(-3\) и \(4\), выражение неположительно между ними, значит:
\[ [-3;4] \]
Проверка для 66а: при \(x=1\) получаем \(1-16=-15<0\), поэтому точка \(1\) не входит; при \(x=5\) получаем \(125-80=45>0\), поэтому интервал \((4;+\infty)\) подходит.
