Решение ответ правильно ясно коротко

Вот правильное и ясное оформление одним блоком.

\[ y=\frac{2}{x-1}-1 \]

1. Область определения

\[ x-1\ne0 \Rightarrow x\ne1 \]

\[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

2. Множество значений

\[ y+1=\frac{2}{x-1} \]

Дробь не может быть равна нулю, поэтому:

\[ y\ne-1 \]

\[ E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \]

3. Асимптоты

Вертикальная:

\[ x=1 \]

Горизонтальная:

\[ y=-1 \]

4. Нули функции и дополнительные точки

\[ y=0 \Rightarrow \frac{2}{x-1}-1=0 \Rightarrow x=3 \]

Значит, график пересекает ось \(Ox\) в точке \((3;0)\).

При \(x=0\):

\[ y=\frac{2}{-1}-1=-3 \]

Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-3)\).

Ещё точки:

\[ (-1;-2),\quad (2;1),\quad (3;0) \]

5. Возрастание и убывание

\[ y'=-\frac{2}{(x-1)^2}<0 \]

Производная отрицательна при всех \(x\ne1\), значит, функция убывает на каждом промежутке:

\[ (-\infty;1)\quad\text{и}\quad(1;+\infty) \]

Промежутков возрастания нет.

6. График

График — гипербола, полученная из \(y=\frac{2}{x}\) сдвигом на \(1\) вправо и на \(1\) вниз.

• Левая ветвь: \(x<1\), расположена ниже прямой \(y=-1\).
• Правая ветвь: \(x>1\), расположена выше прямой \(y=-1\).
• Ветви не соединяются через прямую \(x=1\).

Ответ:

\[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \]

Функция убывает на \((-\infty;1)\) и на \((1;+\infty)\); асимптоты \(x=1\) и \(y=-1\).

Кратко и по-другому — через сдвиг графика.

\[ y=\frac{2}{x-1}-1 \]

Берём гиперболу \(y=\dfrac{2}{x}\) и сдвигаем её:

• вправо на \(1\);
• вниз на \(1\).

Свойства:

\[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \]

Асимптоты:

\[ x=1,\qquad y=-1 \]

Нули и точки пересечения:

\[ y=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow (3;0) \]

\[ x=0 \Rightarrow y=-3 \Rightarrow (0;-3) \]

Дополнительные точки:

\[ (-1;-2),\quad (2;1) \]

Функция убывает на каждом из промежутков:

\[ (-\infty;1)\quad\text{и}\quad(1;+\infty) \]

Возрастания нет.

Ответ: график — гипербола с асимптотами \(x=1\), \(y=-1\), убывающая на \((-\infty;1)\) и \((1;+\infty)\).

Всё вместе, кратко.

\[ y=\frac{2}{x-1}-1 \]

1. Область определения: \[ x-1\ne0 \Rightarrow x\ne1 \] \[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

2. Множество значений: \[ y+1=\frac{2}{x-1}\ne0 \Rightarrow y\ne-1 \] \[ E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \]

3. Асимптоты: \[ x=1,\qquad y=-1 \]

4. Точки для графика: \[ x=0:\quad y=-3 \Rightarrow (0;-3) \] \[ y=0:\quad \frac{2}{x-1}-1=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow (3;0) \] Дополнительно: \[ (-1;-2),\quad (2;1) \]

5. Возрастание и убывание: \[ y'=-\frac{2}{(x-1)^2}<0 \] Функция убывает на каждом промежутке: \[ (-\infty;1)\quad\text{и}\quad(1;+\infty) \] Промежутков возрастания нет.

6. График: Это гипербола \(y=\dfrac{2}{x}\), сдвинутая на \(1\) вправо и на \(1\) вниз. Ветви не соединяются через прямую \(x=1\).

Ответ: \[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\qquad E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \] Асимптоты: \(x=1\), \(y=-1\). Функция убывает на \((-\infty;1)\) и на \((1;+\infty)\).

Кратко:

\[ y=\frac{2}{x-1}-1 \]

• \(D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\)
• \(E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\)
• Асимптоты: \(x=1,\ y=-1\)
• Убывает на \((-\infty;1)\) и \((1;+\infty)\)
• Точки: \((0;-3),\ (3;0),\ (2;1),\ (-1;-2)\)

График — гипербола \(y=\frac2x\), сдвинутая на \(1\) вправо и на \(1\) вниз.

Уточни, пожалуйста, что именно не так: ответ (свойства функции), формат записи или сам график? Напиши, как должно быть — например, «нужно только ответ» или «нужно с таблицей точек».

Ответ:

\[ y=\frac{2}{x-1}-1 \]

• Область определения: \[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]
• Область значений: \[ E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \]
• Асимптоты: \(x=1\) и \(y=-1\).
• Функция убывает на \((-\infty;1)\) и на \((1;+\infty)\).
• Нули и точки: \((3;0)\), \((0;-3)\).

Понятное решение:

1. Знаменатель не равен нулю: \[ x-1\ne0 \Rightarrow x\ne1 \] Значит, \(x=1\) — вертикальная асимптота.

2. Запишем: \[ y+1=\frac{2}{x-1} \] Дробь не равна нулю, поэтому: \[ y\ne-1 \] Значит, \(y=-1\) — горизонтальная асимптота.

3. Найдём точки: \[ x=0:\quad y=\frac{2}{-1}-1=-3 \] \[ y=0:\quad \frac{2}{x-1}-1=0 \Rightarrow x=3 \] Точки: \((0;-3)\) и \((3;0)\).

4. Производная: \[ y'=-\frac{2}{(x-1)^2}<0 \] Она отрицательна при \(x\ne1\), поэтому функция убывает на каждом промежутке: \[ (-\infty;1)\quad\text{и}\quad(1;+\infty) \]

5. График — гипербола \(y=\dfrac{2}{x}\), сдвинутая на \(1\) вправо и на \(1\) вниз. Ветви не соединяются через прямую \(x=1\).