Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как понять принцип
Уравнение имеет вид \(x^2+bx+c=0\). По теореме Виета его корни удовлетворяют условиям:
\[ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c. \]
Для \(x^2-5x+6=0\):
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \]
Числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении \(6\), — это \(2\) и \(3\). Значит:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \]
откуда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияПопробуй теперь решить x² − 7x + 10 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=5\).
Решение тем же способом
Уравнение \(x^2-7x+10=0\) имеет вид \(x^2+bx+c=0\), где \(b=-7\), \(c=10\). По теореме Виета:
\[ x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=10. \]
Ищем два числа с суммой \(7\) и произведением \(10\): это \(2\) и \(5\).
Тогда разложение на множители:
\[ x^2-7x+10=(x-2)(x-5)=0. \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-5=0, \]
то есть \(x=2\) или \(x=5\).
Проверка:
\[ 2^2-7\cdot2+10=4-14+10=0, \] \[ 5^2-7\cdot5+10=25-35+10=0. \]
Оба корня подходят.
Небольшая опора на будущее: у уравнения \(x^2+bx+c=0\) корни всегда ищутся как пара чисел с суммой \(-b\) и произведением \(c\). Если такая пара не подбирается сразу, можно решить через дискриминант \(D=b^2-4c\) — результат будет тот же.
