Реши задание на изображении
Кратко:
- \(10\) см и \(15\) см; 2) \(28\) см; 3) \(43^\circ\) и \(47^\circ\); 5) \(48\) см.
№4 и №6 — доказательства ниже.
1. Стороны параллелограмма
Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(x+5\).
Периметр:
\[
2(x+x+5)=50 \Rightarrow 2x+5=25 \Rightarrow x=10.
\]
Значит стороны:
\[
10\text{ см и }15\text{ см}.
\]
Проверка: \(2(10+15)=50\).
2. Периметр треугольника \(BOC\)
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ AC=BD=18,\quad BO=OC=\frac{18}{2}=9. \] Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому \[ BC=AD=10. \] Тогда \[ P_{BOC}=BO+OC+BC=9+9+10=28\text{ см}. \]
3. Углы стороны ромба с диагоналями
Сумма соседних углов ромба равна \(180^\circ\), значит углы ромба: \[ 86^\circ \quad\text{и}\quad 94^\circ. \] Диагонали ромба делят его углы пополам и перпендикулярны. Поэтому сторона образует с диагоналями углы: \[ \frac{86^\circ}{2}=43^\circ,\qquad \frac{94^\circ}{2}=47^\circ. \] Ответ: \(43^\circ\) и \(47^\circ\).
4. Доказательство \(BK=DL\)
В решении используем равенство \(\angle BKC=\angle DLA\). Если на карточке действительно напечатано \(\angle BCK=\angle DAL\), то это, скорее всего, опечатка: такое равенство выполняется автоматически и самого утверждения не доказывает.
Рассмотрим треугольники \(BKC\) и \(DLA\).
- \(BC=AD\) как противоположные стороны параллелограмма.
- По условию \(\angle BKC=\angle DLA\).
- Так как \(BC\parallel AD\), а точки \(K,L\) лежат на диагонали \(AC\), то \[ \angle BCK=\angle DAL \] (углы между параллельными сторонами и секущей \(AC\)).
Значит, треугольники \(BKC\) и \(DLA\) равны по двум углам и стороне. Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ BK=DL. \]
5. Периметр параллелограмма
Дано: \[ BC=20,\qquad BF=4FC. \] Так как \(F\) лежит на \(BC\), то \[ BF+FC=20. \] Отсюда: \[ 4FC+FC=20 \Rightarrow 5FC=20 \Rightarrow FC=4. \] Тогда \(BF=16\).
Биссектриса угла \(D\) в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник \(DFC\), поэтому \[ DC=FC=4. \] Стороны параллелограмма: \[ BC=AD=20,\qquad AB=CD=4. \] Периметр: \[ P=2(20+4)=48\text{ см}. \]
6. Доказательство, что \(BTDS\) — параллелограмм
Пусть \(O\) — середина диагонали \(BD\). Тогда \[ BO=OD. \] Треугольники \(BOT\) и \(DOS\):
- \(BO=OD\);
- \(\angle BOT=\angle DOS\) как вертикальные;
- \(\angle OBT=\angle ODS\), так как \(BC\parallel AD\), а \(BD\) — секущая.
Значит, треугольники равны, поэтому \[ OT=OS. \] То есть диагонали \(BD\) и \(TS\) четырёхугольника \(BTDS\) точкой \(O\) делятся пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то это параллелограмм. Следовательно, \(BTDS\) — параллелограмм.
