Реши

Это кусочно-заданные функции: график строим по участкам. Если в неравенстве стоит \(\le\) или \(\ge\), точка на границе закрашена; если \(<\), \(>\), — выколота.

№ 2.12

\[ y=\begin{cases} \dfrac{3}{x}, & x<0,\\[4pt] 3\sqrt{x}, & x\ge 0. \end{cases} \]

Как строить:

1. При \(x<0\) берём только левую ветвь гиперболы \(y=\frac3x\).
   Точки: \((-3;-1)\), \((-1;-3)\).
   При \(x\to0^-\) график уходит вниз в \(-\infty\), при \(x\to-\infty\) приближается к \(y=0\).
2. При \(x\ge0\) строим \(y=3\sqrt{x}\).
   Точки: \((0;0)\), \((1;3)\), \((4;6)\), \((9;9)\).
   Точка \((0;0)\) принадлежит графику.

Свойства:
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\).
В точке \(x=0\) разрыв.
Убывает на \((-\infty;0)\), возрастает на \([0;+\infty)\).

№ 2.15

\[ y=\begin{cases} x^3, & x<0,\\ -x^3+2x+2, & 0\le x\le2,\\ x, & 2<x\le4. \end{cases} \]

Как строить:

1. При \(x<0\) строим \(y=x^3\) — только левую часть.
   Точки: \((-2;-8)\), \((-1;-1)\).
   Точка \((0;0)\) выколота, потому что здесь \(x<0\).
2. При \(0\le x\le2\) строим
   \[ y=-x^3+2x+2. \] Ключевые точки:
   \[ (0;2),\quad (1;3),\quad (2;-2). \] Найдём вершину «горки»: \[ y'=-3x^2+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{\frac23}. \] В этой точке \[ y=2+\frac{4\sqrt6}{9}\approx3{,}09. \] То есть средняя часть сначала возрастает, потом убывает.
   Ноль функции примерно при \(x\approx1{,}77\).
3. При \(2<x\le4\) строим прямую \(y=x\).
   Точка \((2;2)\) выколота, точка \((4;4)\) закрашена.

Свойства:
\(D(y)=(-\infty;4]\), \(E(y)=(-\infty;4]\).
Разрывы в \(x=0\) и \(x=2\).
Наибольшее значение \(4\) при \(x=4\).
Локальный минимум \(y=-2\) при \(x=2\).
Возрастает на \((-\infty;0)\), \(\left[0;\sqrt{\frac23}\right]\) и \([2;4]\); убывает на \(\left[\sqrt{\frac23};2\right]\).

Проверка: подставь граничные значения \(x=0\), \(x=2\), \(x=4\) в нужные формулы — получаются отмеченные точки.