1060 номер

Кратко: обозначим \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). По теореме синусов

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. \]

Сначала находим третий угол, затем неизвестные стороны. В пунктах в) и г) надо проверить второй возможный угол: если сумма углов получается больше \(180^\circ\), он не подходит.

Ответы

а)
\[ \angle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ. \] \[ BC=8\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\approx4{,}14\text{ см}, \] \[ AC=8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin105^\circ}\approx5{,}86\text{ см}. \]

б)
\[ \angle A=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ. \] \[ BC=5\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ}\approx5{,}58\text{ см}, \] \[ AC=5\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}\approx4{,}08\text{ см}. \]

в)
\[ \sin C=\frac{AB\cdot\sin A}{BC} =\frac{3\sin48^\circ30'}{3{,}3}\approx0{,}6809. \] Значит, \[ \angle C\approx42^\circ55'. \] Второй угол \(137^\circ05'\) не подходит: \(48^\circ30'+137^\circ05'>180^\circ\).

Тогда \[ \angle B\approx180^\circ-48^\circ30'-42^\circ55' \approx88^\circ35', \] \[ AC\approx4{,}40\text{ см}. \]

г)
\[ \sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC} =\frac{5{,}2\sin62^\circ48'}{10{,}4} \approx0{,}4447. \] Отсюда \[ \angle A\approx26^\circ24'. \] Второй возможный угол \(153^\circ36'\) не подходит, потому что вместе с \(\angle B\) даёт больше \(180^\circ\).

Тогда \[ \angle C\approx180^\circ-62^\circ48'-26^\circ24' \approx90^\circ48', \] \[ AB\approx11{,}69\text{ см}. \]

Итоговая таблица

Проверка: во всех пунктах сумма углов равна \(180^\circ\), а найденные стороны удовлетворяют теореме синусов.