1060 номер
Коротко: обозначим стороны треугольника так: \[ a=BC,\quad b=AC,\quad c=AB. \] По теореме синусов \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. \] Все длины ниже — в см; углы округлены до \(1'\).
| пункт | \(\angle A\) | \(\angle B\) | \(\angle C\) | \(BC\) | \(AC\) | \(AB\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| а) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(105^\circ\) | \(\approx4{,}14\) | \(\approx5{,}86\) | \(8\) |
| б) | \(75^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(\approx5{,}58\) | \(\approx4{,}08\) | \(5\) |
| в) | \(48^\circ30'\) | \(\approx88^\circ35'\) | \(\approx42^\circ55'\) | \(3{,}3\) | \(\approx4{,}40\) | \(3\) |
| г) | \(\approx26^\circ24'\) | \(62^\circ48'\) | \(\approx90^\circ48'\) | \(5{,}2\) | \(10{,}4\) | \(\approx11{,}69\) |
Как это получается
Если известны два угла, третий находим так: \[ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B. \]
Например, в пункте а): \[ \angle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ. \] Дальше используем одну и ту же «общую величину»: \[ \frac{AB}{\sin C} =\frac{8}{\sin105^\circ}. \] Поэтому \[ BC=\frac{8\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\approx4{,}14, \] \[ AC=\frac{8\sin45^\circ}{\sin105^\circ}\approx5{,}86. \]
В пункте в) даны две стороны и угол не между ними. Находим угол \(C\): \[ \sin C=\frac{AB\sin A}{BC} =\frac{3\sin48^\circ30'}{3{,}3}\approx0{,}6809. \] По синусу получаются два возможных угла: \[ C\approx42^\circ55' \quad\text{или}\quad C\approx137^\circ05'. \] Второй не подходит: \(48^\circ30'+137^\circ05'>180^\circ\). Значит, \[ C\approx42^\circ55',\quad B\approx180^\circ-48^\circ30'-42^\circ55' \approx88^\circ35'. \] Затем \[ AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}\approx4{,}40. \]
В пункте г) аналогично: \[ \sin A=\frac{BC\sin B}{AC} =\frac{5{,}2\sin62^\circ48'}{10{,}4}\approx0{,}4447. \] Отсюда \[ A\approx26^\circ24'. \] Второй возможный угол \(153^\circ36'\) невозможен, потому что вместе с \(B\) он уже даёт больше \(180^\circ\). Поэтому \[ C\approx90^\circ48', \] а затем \[ AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}\approx11{,}69. \]
Проверка: в каждом треугольнике большая сторона должна лежать против большего угла. Например, в пункте а) самый большой угол — \(105^\circ\), и самая большая сторона — \(AB=8\) см.
