1060 номер
Краткий ответ (длины — в см)
| пункт | \(AB\) | \(BC\) | \(AC\) | \(\angle A\) | \(\angle B\) | \(\angle C\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| а) | \(8\) | \(\approx 4,14\) | \(\approx 5,86\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(105^\circ\) |
| б) | \(5\) | \(\approx 5,58\) | \(\approx 4,08\) | \(75^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| в) | \(3\) | \(3,3\) | \(\approx 4,41\) | \(48^\circ30'\) | \(\approx 88^\circ35'\) | \(\approx 42^\circ55'\) |
| г) | \(\approx 11,69\) | \(5,2\) | \(10,4\) | \(\approx 26^\circ24'\) | \(62^\circ48'\) | \(\approx 90^\circ48'\) |
Если округлять до десятых: а) \(4,1\) и \(5,9\); б) \(5,6\) и \(4,1\); в) \(4,4\); г) \(11,7\).
Почему так
Для треугольника \(ABC\) теорема синусов записывается так:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}. \]
То есть каждая сторона пропорциональна синусу противолежащего ей угла.
В пунктах а) и б) сначала находим третий угол: \[ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B. \] Например, в а): \[ \angle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ, \] \[ BC=8\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\approx4,14, \] \[ AC=8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin105^\circ}\approx5,86. \]
В пункте в) даны две стороны и угол не между ними. Поэтому: \[ \sin C=\frac{AB\sin A}{BC} =\frac{3\sin48^\circ30'}{3,3}\approx0,68087. \] Отсюда \[ C\approx42,91^\circ\approx42^\circ55'. \] Второй возможный угол \(180^\circ-C\approx137^\circ\) не подходит: тогда сумма углов была бы больше \(180^\circ\). Значит, \[ B\approx180^\circ-48^\circ30'-42^\circ55' \approx88^\circ35', \] \[ AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A}\approx4,41. \]
В пункте г) аналогично: \[ \sin A=\frac{BC\sin B}{AC} =\frac{5,2\sin62^\circ48'}{10,4}\approx0,44471, \] \[ A\approx26^\circ24'. \] Второй вариант \(A\approx153^\circ36'\) невозможен. Тогда \[ C\approx180^\circ-62^\circ48'-26^\circ24' \approx90^\circ48', \] \[ AB=AC\cdot\frac{\sin C}{\sin B}\approx11,69. \]
Проверка: во всех пунктах сумма углов равна \(180^\circ\), а большая сторона лежит против большего угла.
