Сделай шпаргалку для квадратного уравнения

Краткий ответ

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\):

\[ D=b^2-4ac \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

• \(D>0\) — два разных действительных корня;
• \(D=0\) — один корень;
• \(D<0\) — действительных корней нет.

Ключевые шаги

1. Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\): всё перенеси в левую часть.
2. Выпиши \(a\), \(b\), \(c\) вместе со знаками.
3. Найди дискриминант: \[ D=b^2-4ac \]
4. Найди корни по формуле: \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
5. Проверь: подставь найденные корни в исходное уравнение — должно получиться \(0\).

Полезно запомнить

• Если уравнение приведённое: \(x^2+px+q=0\), то \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]
• Для общего вида \(ax^2+bx+c=0\): \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a} \]
• Если \(c=0\): \[ ax^2+bx=0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \] Корни: \(x=0\) и \(x=-\frac{b}{a}\).
• Если \(b=0\): \[ ax^2+c=0 \Rightarrow x^2=-\frac{c}{a} \]

Мини-пример

Решим \(2x^2-5x+2=0\).

\[ a=2,\quad b=-5,\quad c=2 \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm3}{4} \]

\[ x_1=2,\qquad x_2=\frac12 \]

Проверка:
\[ 2\cdot2^2-5\cdot2+2=8-10+2=0 \] \[ 2\cdot\left(\frac12\right)^2-5\cdot\frac12+2=\frac12-\frac52+2=0 \]

Всё верно.