69

Ответ

а) 57°, 57°, 123°, 123° б) 40°, 40°, 140°, 140°

Как это получается

При пересечении двух прямых образуются 4 угла: две пары вертикальных (они равны) и любые два соседних — смежные (их сумма 180°). Все четыре в сумме дают 360°.

а) Сумма двух углов равна 114°. Если бы это были смежные, вышло бы 180°, а 114° < 180° — значит, это вертикальные углы, и они равны:

\[114° : 2 = 57°\]

Второй угол смежный с ним:

\[180° - 57° = 123°\]

б) Все четыре угла дают 360°, поэтому четвёртый угол:

\[360° - 220° = 140°\]

Вертикальный ему тоже 140°, а два оставшихся смежны с ним:

\[180° - 140° = 40°\]

Проверка для б): 140° + 140° + 40° = 320°? Нет — берём три угла: 140° + 140° + 40° = 320°. Стоп, проверю иначе: три угла 40° + 40° + 140° = 220° ✓. (Три угла всегда включают одну пару вертикальных и один смежный к ним.)

Давай медленнее, на картинке-схеме. Две прямые пересеклись — получилось 4 угла: два «узких» (они напротив друг друга и равны) и два «широких» (тоже равны).

Главное правило: соседние углы вместе составляют прямую линию, то есть 180°. А углы напротив друг друга просто равны.

а) Сумма двух углов = 114°

Смотрим: 114° меньше 180°. Значит, эти два угла — не соседние (соседние дали бы 180°), а те, что напротив друг друга. Они равны, поэтому делим пополам:

\[114° : 2 = 57°\]

— это два «узких» угла.

Теперь каждый «широкий» — сосед к 57°, значит:

\[180° - 57° = 123°\]

Ответ а): 57°, 57°, 123°, 123°

б) Сумма трёх углов = 220°

Все 4 угла вместе — полный круг, 360°. Значит, четвёртый угол:

\[360° - 220° = 140°\]

Напротив него лежит такой же — тоже 140°. Остались два равных угла:

\[360° - 140° - 140° = 80°\]

, а каждый из них: \[80° : 2 = 40°\]

Ответ б): 40°, 40°, 140°, 140°

Проверка для б): берём три угла — 40° + 40° + 140° = 220° ✓

(В прошлом сообщении проверка была записана путано — вот правильная.)

Смотри, на чертеже нужно сделать три вещи: нарисовать две прямые, подписать углы и показать, какие из них равны.

Шаг 1. Рисуем две прямые

        A
         \
          \
    D ————O———— C
          /
         /
        B

Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). Получилось 4 угла: \(\angle AOC\), \(\angle COB\), \(\angle BOD\), \(\angle DOA\).

Шаг 2. Подписываем градусы (вариант а)

        A
         \
   57°    \   123°
           \
  D ———————O——————— C
           / \
   123°   /   \  57°
         /
        B

\[\angle AOC = 123°, \quad \angle DOA = 57°, \quad \angle BOD = 123°, \quad \angle COB = 57°\]

Главное: равные углы — напротив друг друга (они вертикальные).

Шаг 3. Как показать равенство

• Углы \(57°\) отмечаем одинаковыми дугами — например, одной дугой каждый.
• Углы \(123°\) — двумя дугами каждый.
• Одинаковые дуги = равные углы. Учитель сразу видит, что ты понял: это вертикальные углы.

Вариант б

        A
         \
  140°    \   40°
           \
  D ———————O——————— C
           / \
    40°   /   \ 140°
         /
        B

\[\angle AOC = 40°, \quad \angle DOA = 140°, \quad \angle BOD = 40°, \quad \angle COB = 140°\]

Что ещё написать рядом с чертежом

а) «\(\angle AOC + \angle COB = 180°\) (смежные)» — можно подписать у точки \(O\), это подтверждает, что \(57° + 123° = 180°\).

б) Рядом с чертежом: «\(\angle DOA + \angle AOC + \angle COB = 40° + 40° + 140° = 220°\)» — это и есть сумма трёх углов из условия.

Оформление в тетради

Дано: прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\); а) сумма двух углов \(114°\); б) сумма трёх углов \(220°\).

Найти: все четыре угла.

Решение: (те вычисления, что мы разобрали) → Ответ: а) \(57°, 57°, 123°, 123°\); б) \(40°, 40°, 140°, 140°\).

Если хочешь, могу подсказать, как вместо трёхбуквенных названий использовать короткие \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\) — так иногда требуют учителя.

Да, всё верно: прямых ровно две — \(AB\) и \(CD\), и они пересекаются в одной точке \(O\). Четыре угла получаются не из четырёх прямых, а из двух: каждая прямая делится точкой \(O\) на два луча.

То есть \(OA\) и \(OB\) — это не две разные прямые, а половинки одной прямой \(AB\). Так же \(OC\) и \(OD\) — половинки прямой \(CD\).

Как должен выглядеть чертёж

Каждая линия — одна непрерывная прямая через \(O\), проведённая по линейке:

        A
         \
          \
  D———————O———————C
           \
            \
             B

Здесь \(AB\) — одна прямая (сверху вниз через \(O\)), \(CD\) — вторая (слева направо через \(O\)). Больше никаких линий нет.

С градусами

а)

        A
         \
    57°   \  123°
           \
  D————————O————————C
           / \
   123°   /   \  57°
         /
        B

б)

        A
         \
   140°   \   40°
           \
  D————————O————————C
           / \
    40°   /   \ 140°
         /
        B

Как чертить по шагам

1. Проведи по линейке прямую \(CD\), поставь на ней точку \(O\).
2. Через эту же точку \(O\) проведи по линейке вторую прямую \(AB\) — под любым углом, но так, чтобы она была одной ровной линией, а не «сломанной» в точке \(O\).
3. Подпиши углы: напротив друг друга — одинаковые числа (это вертикальные углы).
4. Отметь равные углы одинаковыми дугами: \(57°\) — одной дугой, \(123°\) — двумя (в варианте б так же: \(40°\) и \(140°\)).

Если учитель требует другие буквы (например, \(a\) и \(b\) вместо \(AB\) и \(CD\)) — просто замени обозначения, сам чертёж от этого не меняется.

Число 80 — это промежуточный шаг в пункте б), сумма двух оставшихся углов. Давай по порядку.

В варианте б) дана сумма трёх углов: 220°. А всего в четырёх углах 360° (полный круг). Значит, четвёртый угол:

\[360° - 220° = 140°\]

Теперь смотри: угол 140° — не один, а два таких (они вертикальные, напротив друг друга). Они вместе занимают:

\[140° + 140° = 280°\]

Остаток от полного круга — это и есть те два оставшихся угла вместе:

\[360° - 280° = 80°\]

И поскольку они равны, делим пополам:

\[80° : 2 = 40°\]

Смысл числа 80: это сумма двух равных углов, а не сам угол. Поэтому на 80 в ответ не пишем — пишем 40.

Проверка: 140° + 140° + 40° + 40° = 360° ✓

В пункте а) такого числа нет: там сразу из 114° : 2 = 57° получаем угол, а второй находим по 180° − 57° = 123°.

Забудь про 80 — есть путь проще, без него. Давай с самого начала, всего с двумя правилами.

Два правила

Правило 1. Два угла рядом (соседние) вместе дают прямую линию, то есть 180°.

Правило 2. Углы друг напротив друга равны.

Больше ничего не нужно.

Теперь пункт б), по шагам

Назовём углы цифрами:

        1 / 2
         /
   ─────O─────
      4 / 3

Соседние пары: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1. Каждая пара = 180°.

В условии — три угла, их сумма 220°. Три угла — это всегда два соседних плюс ещё один.

Два соседних в сумме дают 180°. Значит, третий угол находим так:

\[220° - 180° = 40°\]

Всё. Мы нашли один угол — 40°.

Дальше по правилу 2: напротив него такой же — второй 40°.

Остались два угла, они соседние с 40°:

\[180° - 40° = 140°\]

— и напротив него тоже 140°.

Ответ б): 40°, 40°, 140°, 140°

Проверка: три угла 40° + 40° + 140° = 220° ✓

Тот «80» был просто другим способом счёта — через сумму двух оставшихся углов. Он не обязателен, можно им не пользоваться.

Скажи, на каком именно месте спотыкаешься — на «почему три угла = два соседних + один» или на вычитании 220 − 180? Разберём только его.

Разберём оба места по отдельности.

1. Почему «три угла» — это обязательно два соседних + один

Расставим номера по кругу:

        1 | 2
          |
   -------O-------
          |
        4 | 3

Соседние пары (стоят рядом, между ними общий луч): 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1. Каждая такая пара в сумме даёт 180° — потому что два соседних угла вместе занимают всю прямую линию.

Например, углы 1 и 2 вместе — это весь верхний развёрнутый угол: от левого луча прямой до правого. А развёрнутый угол — это прямая, 180°.

Теперь главное. В условии сказано: три угла. Но углов всего четыре. Значит, мы взяли все, кроме одного. Например, взяли 1, 2 и 3 (не взяли 4).

Смотри, что получилось: среди этих трёх есть пара 1 и 2 — они соседние! Их сумма 180°. А третий угол, 3, идёт «в довесок»:

\[\underbrace{1 + 2}_{180°} + 3 = 220°\]

Какие бы три угла ни взять — среди них всегда найдутся два соседних. Проверь: возьми 2, 3, 4 — соседняя пара 2 и 3. Возьми 1, 3, 4 — соседняя пара 3 и 4. По-другому не получится, потому что если два угла не соседние, то они напротив друг друга, а напротив каждого угла стоит только один — на четыре угла двух «не соседних» не набрать.

2. Откуда берётся 220° − 180° = 40°

У нас есть запись:

\[180° + 3 = 220°\]

Неизвестен угол 3. Чтобы его найти, из суммы убираем известные 180°:

\[3 = 220° - 180°\]

Считаем:

• \(220 - 180\): от 220 отнимаем 100 → 120, отнимаем ещё 80 → 40.
• Или проверкой: \(180 + 40 = 220\) ✓ — значит, вычитание верное.

Получили: угол 3 = 40°.

Что дальше

• Напротив угла 3 стоит угол 1 — они равны: тоже 40°.
• Угол 2 соседний с углом 3, значит $180° - 40° = $ 140°.
• Напротив угла 2 стоит угол 4 — тоже 140°.

Ответ: 40°, 40°, 140°, 140°. Проверка: три угла \(40° + 40° + 140° = 220°\) ✓

Проверь себя на таком же: если сумма трёх углов 250°, то третий угол $250° - 180° = $ сколько?

Через уравнение даже удобнее — оформление получается аккуратным. Обозначаем один угол через \(x\) и используем два факта: вертикальные углы равны, смежные дают 180°.

Пункт а)

Замечание. Если бы два угла были смежными, их сумма была бы 180°, а у нас 114°. Значит, это вертикальные углы, и они равны.

Пусть каждый из этих двух углов равен \(x\). Тогда:

\[x + x = 114°\] \[2x = 114°\] \[x = 57°\]

Смежный к нему угол:

\[180° - 57° = 123°\]

Ответ а): \(57°, 57°, 123°, 123°\).

Пункт б)

Пусть \(x\) — меньший из углов, тогда больший (смежный с ним) равен \(180° - x\).

При пересечении двух прямых углы такие: \(x\), \(x\), \(180° - x\), \(180° - x\) (одинаковые стоят напротив друг друга).

В условии — три угла. Среди любых трёх всегда есть пара равных вертикальных и один смежный к ним. Значит:

\[x + x + (180° - x) = 220°\]

Упрощаем: два \(x\) и «минус \(x\)» дают один \(x\):

\[x + 180° = 220°\] \[x = 220° - 180° = 40°\]

Больший угол:

\[180° - 40° = 140°\]

Ответ б): \(40°, 40°, 140°, 140°\).

Проверка (обязательно в уравнении)

• а) \(57° + 57° = 114°\) ✓ ; \(57° + 123° = 180°\) ✓
• б) три угла: \(40° + 40° + 140° = 220°\) ✓ ; все четыре: \(40° + 140° + 40° + 140° = 360°\) ✓

Как записать в тетради

Пусть \(x\) — меньший угол, тогда смежный с ним \(180° - x\). Так как сумма трёх углов равна 220°, составим уравнение:

\[x + x + (180° - x) = 220°\] \[x = 40°\]

Тогда \(180° - x = 140°\). Ответ: \(40°, 40°, 140°, 140°\).

Кстати, на мой прошлый вопрос: если сумма трёх углов 250°, то \(x = 250° - 180° = 70°\), а больший угол \(110°\).

В скобках нужно прямо назвать, что это за число — иначе учитель прочитает 80° как угол, а это не угол.

Вариант 1 — запись в строчку (самый простой)

\[360° - 140° - 140° = 80° \quad \text{(сумма двух оставшихся вертикальных углов)}\] \[80° : 2 = 40° \quad \text{(каждый из этих углов)}\]

То есть в скобках пишешь словами: «сумма двух равных углов» или «сумма двух вертикальных углов».

Вариант 2 — через уравнение (аккуратнее всего)

\[2x = 80° \quad \text{(два равных вертикальных угла)}\] \[x = 40°\]

Здесь \(x\) — сам угол, а 80° — их общая сумма. Видно сразу: 80 делится на два.

Вариант 3 — короче, как часто пишут в тетради

\[140° + 140° = 280° \quad \text{(два вертикальных)}\] \[360° - 280° = 80° \quad \text{(сумма двух других)}\] \[80° : 2 = 40°\]

На чертеже 80° не ставим

Внутри угла на чертеже пишутся только настоящие углы: \(40°, 40°, 140°, 140°\). Число 80° — это «служебное», оно живёт только в решении.

Если хочется показать его на рисунке, ставят фигурную скобку сразу под двумя углами и подписывают:

\[\underbrace{40° + 40°}_{80°}\]

Это читается однозначно: 80° — сумма, а не один угол.

Пишется с новой строки, после решения, одним словом «Ответ» и без точки после него — двоеточие.

Короткий вариант (обычно достаточно)

Ответ: а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°.

Если учитель требует назвать углы по буквам

Тогда так (по чертежу с прямыми \(AB\) и \(CD\), пересекающимися в \(O\)):

Ответ: а) \(\angle AOC = \angle BOD = 57°\), \(\angle COB = \angle DOA = 123°\); б) \(\angle AOC = \angle BOD = 40°\), \(\angle COB = \angle DOA = 140°\).

Как это выглядит в тетради целиком

Решение. Пусть \(x\) — меньший угол, тогда смежный с ним \(180° - x\).

а) \(x + x = 114°\), \(x = 57°\); \(180° - 57° = 123°\). б) \(x + x + (180° - x) = 220°\), \(x = 40°\); \(180° - 40° = 140°\).

Ответ: а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°.

Три мелочи, за которые снижают балл

1. Значок градуса у каждого числа: «57°, 57°», а не «57, 57°».
2. Пункты а) и б) — в одной строке ответа, через точку с запятой.
3. В ответ идут все четыре угла, а не только найденный — в условии просят найти все углы.

Просто одна строка после решения:

Ответ: а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°.

Всё. Пишется с новой строки, с маленькой буквы после двоеточия, градусы у каждого числа, пункты а) и б) через точку с запятой, в конце точка.

Если нужны буквы с чертежа (\(AB\) и \(CD\) пересекаются в \(O\)):

Ответ: а) \(\angle AOC=\angle BOD=57°\), \(\angle COB=\angle DOA=123°\); б) \(\angle AOC=\angle BOD=40°\), \(\angle COB=\angle DOA=140°\).