Реши задание на изображении

Ответы

1. \(\angle B=154^\circ,\ \angle A=\angle D=26^\circ\) — если трапеция равнобедренная, как на рисунке.
2. \(12{,}1\) см.
3. \(10\) м и \(90\) м.
4. \(36^\circ\) и \(144^\circ\): два угла по \(36^\circ\), два — по \(144^\circ\).
5. \(72^\circ\).
6. \(52\) см.
7. \(90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ\).
8. \(4\).

Пояснения

1. У равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому
   \[ \angle B=\angle C=154^\circ. \] Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\): \[ \angle A=\angle D=180^\circ-154^\circ=26^\circ. \]

Если трапеция не равнобедренная, то по одному углу \(C\) нельзя найти \(\angle A\) и \(\angle B\): известно только, что \(\angle D=26^\circ\), а \(\angle A+\angle B=180^\circ\).

2. У ромба все стороны равны: \[ a=\frac{P}{4}=\frac{48{,}4}{4}=12{,}1\text{ см}. \]

3. Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(9x\): \[ 2(x+9x)=200, \] \[ 20x=200,\quad x=10. \] Стороны: \(10\) м и \(90\) м.

4. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\). Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(4x\): \[ x+4x=180^\circ, \] \[ 5x=180^\circ,\quad x=36^\circ. \] Больший угол: \[ 4x=144^\circ. \]

5. В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-108^\circ=72^\circ. \] Меньший угол равен \(72^\circ\).

6. Дано: параллелограмм \(ABCD\), \(AK\) — биссектриса \(\angle A\), \(K\in BC\), \(BK=7\), \(CK=12\).
   Найти: периметр параллелограмма.

Решение.
\[ BC=BK+CK=7+12=19. \] Так как \(AD\parallel BC\), то \[ \angle KAD=\angle AKB \] как накрест лежащие. Но \(AK\) — биссектриса, поэтому \[ \angle BAK=\angle KAD. \] Значит, \[ \angle BAK=\angle AKB, \] следовательно, треугольник \(ABK\) равнобедренный: \[ AB=BK=7. \] Тогда \[ P=2(AB+BC)=2(7+19)=52. \]

Ответ: \(52\) см.

7. Дано: ромб \(ABCD\), \(\angle A=60^\circ\), диагонали пересекаются в точке \(K\).
   Найти: углы треугольника \(BKC\).

Решение.
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \[ \angle BKC=90^\circ. \] В ромбе противоположные углы равны: \[ \angle C=\angle A=60^\circ. \] Диагональ \(AC\) делит угол \(C\) пополам, значит \[ \angle BCK=30^\circ. \] Тогда \[ \angle KBC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]

Ответ: \(90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ\).

8. Дано: равнобедренная трапеция, большее основание \(14\), высота \(5\), угол при основании \(45^\circ\).
   Найти: меньшее основание.

Решение.
Опустим две высоты. В равнобедренной трапеции они отсекают от большего основания равные отрезки. Пусть каждый равен \(x\).
В прямоугольном треугольнике: \[ \tan 45^\circ=\frac{5}{x}. \] Так как \(\tan45^\circ=1\), то \[ x=5. \] Тогда меньшее основание: \[ 14-5-5=4. \]

Ответ: \(4\).

Проверка: \(154^\circ+154^\circ+26^\circ+26^\circ=360^\circ\); \(2(10+90)=200\); \(2(7+19)=52\); \(5+4+5=14\).