96 номер задача г)
Краткий ответ:
Функция \(f(x)=x^3-1\) определена на всей числовой прямой, возрастает на всей области определения, имеет единственный нуль в точке \(x=1\). Её график — кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая на \(1\) вниз.
Как исследовать функцию по общей схеме
1. Область определения
Многочлен определён при любых \(x\), поэтому \(D(f)=\mathbb{R}\). Разрывов и вертикальных асимптот нет.
2. Чётность / нечётность
\(f(-x)=(-x)^3-1=-x^3-1\).
Это не равно \(f(x)\) и не равно \(-f(x)=-x^3+1\). Значит, функция ни чётная, ни нечётная.
3. Нули и промежутки знакопостоянства
Решаем \(x^3-1=0\):
\[
x^3=1 \quad\Rightarrow\quad x=1.
\]
Точка пересечения с осью \(Ox\): \((1;0)\).
При \(x>1\) имеем \(x^3>1\), поэтому \(f(x)>0\).
При \(x<1\) имеем \(x^3<1\), поэтому \(f(x)<0\).
4. Монотонность и экстремумы
Находим производную:
\[
f'(x)=3x^2.
\]
Так как \(3x^2\ge 0\) при всех \(x\), функция возрастает на всей области определения.
В точке \(x=0\) производная равна нулю, но знак не меняется, поэтому экстремума здесь нет. Это точка перегиба.
5. Поведение на бесконечности
\[
\lim_{x\to+\infty}(x^3-1)=+\infty,\qquad
\lim_{x\to-\infty}(x^3-1)=-\infty.
\]
Горизонтальных и наклонных асимптот у кубической параболы нет.
6. Таблица значений для построения
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline
y & -9 & -2 & -1 & 0 & 7
\end{array}
\]
Этих точек достаточно: график проходит через них и плавно уходит вниз при \(x\to-\infty\) и вверх при \(x\to+\infty\).
Проверка:
Подставим \(x=1\): \(1^3-1=0\) — нуль найден верно.
Подставим \(x=0\): \(0^3-1=-1\) — точка \((0;-1)\) действительно лежит на графике.
Производная \(3x^2\) неотрицательна, значит, график всё время идёт «вверх» слева направо — это подтверждает возрастание.
Принцип для похожих заданий:
Сначала находим область определения и нули, затем по знаку производной определяем возрастание/убывание и экстремумы, после чего отмечаем несколько контрольных точек и строим плавную кривую. Для функций вида \(y=x^3+a\) график — обычная кубическая парабола, сдвинутая по вертикали на \(a\).
Обсуждение
4 сообщенияРешить так как учитель объясняет по школьной программе
Буду решать ту же функцию, что была в предыдущем ответе:
\[
y=x^3-1.
\]
Оформление — как в школьной тетради.
1. Область определения
\[ D(y)=(-\infty;+\infty) \] Функция определена при любых \(x\).
2. Точки пересечения с осями
С осью \(Ox\): \(y=0\): \[ x^3-1=0,\quad x^3=1,\quad x=1. \] Точка: \((1;0)\).
С осью \(Oy\): \(x=0\): \[ y=0^3-1=-1. \] Точка: \((0;-1)\).
3. Возрастание функции
Находим производную: \[ y'=3x^2. \] Так как \(3x^2\ge 0\) при всех \(x\), функция возрастает на всей области определения.
В точке \(x=0\) производная равна нулю, но знак производной не меняется. Значит, экстремума нет.
4. Таблица значений
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y & -9 & -2 & -1 & 0 & 7 \end{array} \]
5. Построение графика
Строим точки: \[ (-2;-9),\ (-1;-2),\ (0;-1),\ (1;0),\ (2;7) \] и соединяем плавной кривой.
График функции \(y=x^3-1\) получается из графика \(y=x^3\) сдвигом вниз на \(1\) единицу.
Ответ
Функция возрастает на всей числовой прямой, экстремумов не имеет.
Нуль функции: \(x=1\).
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-1)\).
Область значений:
\[
E(y)=(-\infty;+\infty).
\]
Если в номере 96(г) была другая функция, пришли фото задания — переделаю решение под неё.
Реши функцию f(x)=x^3-1
Решение для функции \(f(x)=x^3-1\)
Обычно в школьном курсе для такой функции нужно построить график и описать её свойства.
1. Таблица значений
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline x^3 & -8 & -1 & 0 & 1 & 8\\ f(x)=x^3-1 & -9 & -2 & -1 & 0 & 7 \end{array} \]
Точки графика:
\[ (-2;-9),\quad (-1;-2),\quad (0;-1),\quad (1;0),\quad (2;7). \]
2. Построение графика
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем плавной линией.
График функции
\[ y=x^3-1 \]
получается из графика \(y=x^3\) сдвигом вниз на \(1\) единицу.
3. Свойства функции
Область определения: \[ D(f)=(-\infty;+\infty). \]
Область значений: \[ E(f)=(-\infty;+\infty). \]
Нуль функции:
\[ x^3-1=0,\qquad x^3=1,\qquad x=1. \] График пересекает ось \(Ox\) в точке \((1;0)\).Пересечение с осью \(Oy\): \[ f(0)=0^3-1=-1. \] Точка \((0;-1)\).
Промежутки знакопостоянства: \[ f(x)<0 \text{ при } x<1, \] \[ f(x)>0 \text{ при } x>1. \]
Возрастание:
Функция возрастает на всей области определения.Чётность:
\[ f(-x)=(-x)^3-1=-x^3-1. \] Это не равно \(f(x)\) и не равно \(-f(x)\), значит, функция ни чётная, ни нечётная.Наибольшего и наименьшего значения нет, так как \[ f(x)\to+\infty \text{ при } x\to+\infty, \] \[ f(x)\to-\infty \text{ при } x\to-\infty. \]
Ответ
График функции \(f(x)=x^3-1\) — кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая на \(1\) единицу вниз.
Функция возрастает на всей числовой прямой, имеет единственный нуль \(x=1\), пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;-1)\).
\[
D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=\mathbb{R}.
\]
