Реши задание на изображении
По фото читается кусочно заданная функция: \[ y=\begin{cases} x^3, & x<0,\\ -x^3+2x+2, & 0\le x\le 2,\\ x, & 2<x\le 4. \end{cases} \]
Краткий ответ:
\[
D(y)=(-\infty;0)\cup[0;2]\cup(2;4]=(-\infty;4].
\]
То есть область определения: \(\boxed{(-\infty;4]}\).
Как это получается
Смотрим ограничения на \(x\) в каждой строке:
- \(x<0\);
- \(0\le x\le2\);
- \(2<x\le4\).
Объединяем: \[ (-\infty;0)\cup[0;2]\cup(2;4]=(-\infty;4]. \]
Важно:
- \(x=0\) входит за счёт второй строки;
- \(x=2\) входит за счёт второй строки;
- \(x=4\) входит, так как в третьей строке стоит \(x\le4\).
Если нужно построить график
При \(x<0\): график \(y=x^3\), ветвь идёт из \(-\infty\) вверх и подходит к точке \((0;0)\), но сама точка \((0;0)\) выколота, потому что первая строка — \(x<0\).
При \(0\le x\le2\): график \[ y=-x^3+2x+2. \] Полезные точки: \[ x=0:\ y=2; \] \[ x=1:\ y=3; \] \[ x=2:\ y=-2. \] Точки \((0;2)\) и \((2;-2)\) закрашены. Максимум на этом участке достигается при \[ x=\sqrt{\frac23}\approx0{,}82, \] \[ y_{\max}=2+\frac{4\sqrt6}{9}\approx3{,}09. \]
При \(2<x\le4\): график \(y=x\). В точке \(x=2\) значение \(y=2\) не включается, поэтому там выколотая точка \((2;2)\), а при \(x=4\) точка \((4;4)\) закрашена.
Проверка области значений
- первая ветвь даёт \((-\infty;0)\);
- вторая — отрезок примерно \([-2;3{,}09]\);
- третья — \((2;4]\).
Объединение: \[ (-\infty;4]. \] То есть множество значений тоже \(\boxed{(-\infty;4]}\).
