до 10
Кыска жооптор (1–10)
а) \(\vec{BC}=\vec b,\quad \vec{DC}=\vec a\);
б) \(\vec{AC}=\vec a+\vec b,\quad \vec{BD}=\vec b-\vec a\).\(\vec a\) берилгенде:
\(3\vec a\) — багыты ошол эле, узундугу 3 эсе чоң;
\(-2\vec a\) — багыты карама-каршы, узундугу 2 эсе чоң;
\(2{,}5\vec a\) — багыты ошол эле, узундугу 2,5 эсе чоң.
Чиймеде векторлорду ушундай узундуктарда тартабыз.\(\vec{BC}=\vec p+\vec q,\quad \vec{CD}=\vec q,\quad \vec{DE}=-\vec p\),
\(\vec{EF}=-(\vec p+\vec q)\),
\(\vec{AC}=2\vec p+\vec q,\quad \vec{AD}=2\vec p+2\vec q\).\(\vec{AB}=(-3;\,7)\).
а) \(3\vec a=(6;\,15)\);
б) \(-2{,}5\vec a=(-5;\,-12{,}5)\).\(\vec{AB}=(5;1),\ \vec{BC}=(-3;-2),\ \vec{CD}=(-3;7),\ \vec{DA}=(1;-6)\).
а) \((2;-1)\);
б) \((-1;6)\);
в) \((0;0)\);
г) \((13;4)\).\(B(5;-3)\).
а) \(|\vec a|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\);
б) \(-\vec a=(3;-4)\).а) \(\vec c=(-1;-2)\);
б) \(\vec c=(11;-6)\).а) \(|\vec c|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt5\);
б) \(|\vec c|=\sqrt{11^2+(-6)^2}=\sqrt{157}\).
Кантип чыгарылат
Эң негизги эреже:
\[ \vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A) \]
б.а. акыркы чекиттин координатасынан баштапкы чекиттикин кемитебиз. Мисалы, 4-көнүгүүдө:
\[ \vec{AB}=(-1-2;\ 4-(-3))=(-3;7). \]
Векторлорду кошкондо жана кемиткенде координаталары боюнча амал кылабыз:
\[ (a_1;a_2)\pm(b_1;b_2)=(a_1\pm b_1;\ a_2\pm b_2). \]
Скалярга көбөйткөндө ар бир координата көбөйөт:
\[ k(x;y)=(kx;ky). \]
Ошондуктан 9-көнүгүүдө:
\[ 3\vec a+2\vec b=3(3;-2)+2(-5;2)=(9;-6)+(-10;4)=(-1;-2). \]
Вектордун узундугу Пифагор теоремасы боюнча табылат:
\[ |(x;y)|=\sqrt{x^2+y^2}. \]
1-көнүгүүдө параллелограммдын карама-каршы жактары параллель жана барабар болгондуктан \(\vec{BC}=\vec{AD}=\vec b\), \(\vec{DC}=\vec{AB}=\vec a\). Андан кийин үч бурчтук эрежесин колдонобуз: \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\).
6-көнүгүүдө в) пунктунда \(A\to B\to C\to D\to A\) жабык контур болгондуктан сумма нөл векторго барабар. г) пунктунда жөн гана \(2\vec{AB}\) эсептелип, андан \(\vec{BC}\) кемитилет.
7-көнүгүүдө \(\vec{AB}=B-A\) болгондуктан:
\[ B=A+\vec{AB}=(1;2)+(4;-5)=(5;-3). \]
Текшерүү: 6-көнүгүүнүн а) пунктунда \((5;1)+(-3;-2)=(2;-1)\), бул \(\vec{AC}=C-A=(2;-1)\) менен дал келет. 10-көнүгүүдөгү модулдар да 9-көнүгүүдө табылган координаталардан алынган.
Обсуждение
2 сообщенияЧыгарылышы менен
Төмөндө 1–10-көнүгүүлөрдүн чыгарылышы. Колдонулган негизги эрежелер:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A),\quad \vec a\pm\vec b=(a_x\pm b_x;\ a_y\pm b_y), \] \[ k\vec a=(ka_x;\ ka_y),\quad |\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. \]
1. Параллелограмм \(ABCD\)
Берилген: \(\overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{AD}=\vec b\).
Параллелограммда карама-каршы жактары барабар жана параллель:
\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b, \] \[ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a. \]
Векторлорду кошуу эрежеси боюнча:
\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\vec a+\vec b. \]
\[ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} =-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a. \]
Жооп: \[ \overrightarrow{BC}=\vec b,\quad \overrightarrow{DC}=\vec a, \] \[ \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a. \]
2. \(\vec a\) векторун скалярга көбөйтүү
\(3\vec a\) — багыты \(\vec a\) менен бирдей, узундугу 3 эсе чоң: \[ |3\vec a|=3|\vec a|. \]
\(-2\vec a\) — багыты \(\vec a\) га карама-каршы, узундугу 2 эсе чоң: \[ |-2\vec a|=2|\vec a|. \]
\(2{,}5\vec a\) — багыты \(\vec a\) менен бирдей, узундугу 2,5 эсе чоң: \[ |2{,}5\vec a|=2{,}5|\vec a|. \]
Жооп: векторлорду сүрөттө ушул узундуктарга жана багыттарга ылайык тартабыз.
3. Сызма боюнча векторлорду табуу
Сүрөт боюнча:
\[ \overrightarrow{BC}=\vec p+\vec q. \]
Андан ары удаалаш кошуу:
\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\vec p+(\vec p+\vec q)=2\vec p+\vec q. \]
\[ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} =(2\vec p+\vec q)+\vec q=2\vec p+2\vec q. \]
Калган векторлор:
\[ \overrightarrow{CD}=\vec q,\quad \overrightarrow{DE}=-\vec p, \] \[ \overrightarrow{EF}=-(\vec p+\vec q). \]
Жооп: \[ \overrightarrow{BC}=\vec p+\vec q,\quad \overrightarrow{CD}=\vec q, \] \[ \overrightarrow{DE}=-\vec p,\quad \overrightarrow{EF}=-(\vec p+\vec q), \] \[ \overrightarrow{AC}=2\vec p+\vec q,\quad \overrightarrow{AD}=2\vec p+2\vec q. \]
4. \(\overrightarrow{AB}\) векторунун координаталары
Берилген: \[ A(2;-3),\quad B(-1;4). \]
Формула боюнча:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]
Демек:
\[ \overrightarrow{AB}=(-1-2;\ 4-(-3))=(-3;\ 7). \]
Жооп: \[ \overrightarrow{AB}=(-3;7). \]
5. Векторду санга көбөйтүү
Берилген: \[ \vec a=(2;5). \]
а)
\[ 3\vec a=3(2;5)=(6;15). \]
б)
\[ -2{,}5\vec a=-2{,}5(2;5)=(-5;-12{,}5). \]
Жооп: \[ 3\vec a=(6;15),\quad -2{,}5\vec a=(-5;-12{,}5). \]
6. Векторлор менен амалдар
Берилген жактардын векторлору:
\[ \overrightarrow{AB}=(5;1),\quad \overrightarrow{BC}=(-3;-2), \] \[ \overrightarrow{CD}=(-3;7),\quad \overrightarrow{DA}=(1;-6). \]
а)
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =(5;1)+(-3;-2)=(2;-1). \]
б)
\[ \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} \] \[ =(5;1)+(-3;-2)+(-3;7)=(-1;6). \]
в)
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \] \[ =(5;1)+(-3;-2)+(-3;7)+(1;-6)=(0;0)=\vec 0. \]
Бул жабык контур болгондуктан сумма нөлгө барабар.
г)
\[ 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} =2(5;1)-(-3;-2) \] \[ =(10;2)+(3;2)=(13;4). \]
Жооп: \[ \text{а) }(2;-1),\quad \text{б) }(-1;6), \] \[ \text{в) }(0;0),\quad \text{г) }(13;4). \]
7. \(B\) чекитинин координаталары
Берилген: \[ A(1;2),\quad \overrightarrow{AB}=(4;-5). \]
\[ \overrightarrow{AB}=B-A. \]
Ошондуктан:
\[ B=A+\overrightarrow{AB}=(1;2)+(4;-5)=(5;-3). \]
Жооп: \[ B(5;-3). \]
8. Вектордун узундугу жана карама-каршы вектор
Берилген: \[ \vec a=(-3;4). \]
а) Узундук
\[ |\vec a|=\sqrt{(-3)^2+4^2} =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \]
б) \(-\vec a\)
\[ -\vec a=-(-3;4)=(3;-4). \]
Жооп: \[ |\vec a|=5,\quad -\vec a=(3;-4). \]
9. Вектордук туюнтмалар
Берилген: \[ \vec a=(3;-2),\quad \vec b=(-5;2). \]
а) \(\vec c=3\vec a+2\vec b\)
\[ 3\vec a=3(3;-2)=(9;-6), \] \[ 2\vec b=2(-5;2)=(-10;4). \]
Кошобуз:
\[ \vec c=(9;-6)+(-10;4)=(-1;-2). \]
б) \(\vec c=2\vec a-\vec b\)
\[ 2\vec a=2(3;-2)=(6;-4). \]
Демек:
\[ \vec c=(6;-4)-(-5;2) =(6+5;\ -4-2)=(11;-6). \]
Жооп: \[ \text{а) }\vec c=(-1;-2),\quad \text{б) }\vec c=(11;-6). \]
10. \(\vec c\) векторунун узундугу
а)
9-көнүгүүнүн а) пункту боюнча: \[ \vec c=(-1;-2). \]
\[ |\vec c|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2} =\sqrt{1+4}=\sqrt5. \]
б)
9-көнүгүүнүн б) пункту боюнча: \[ \vec c=(11;-6). \]
\[ |\vec c|=\sqrt{11^2+(-6)^2} =\sqrt{121+36}=\sqrt{157}. \]
Жооп: \[ \text{а) }|\vec c|=\sqrt5,\quad \text{б) }|\vec c|=\sqrt{157}. \]
Кыскача жооптор
\(\overrightarrow{BC}=\vec b,\ \overrightarrow{DC}=\vec a;\quad \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b,\ \overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a.\)
\(3\vec a\) — 3 эсе узун, \(-2\vec a\) — 2 эсе узун жана карама-каршы, \(2{,}5\vec a\) — 2,5 эсе узун.
\(\overrightarrow{BC}=\vec p+\vec q,\ \overrightarrow{CD}=\vec q,\ \overrightarrow{DE}=-\vec p,\ \overrightarrow{EF}=-(\vec p+\vec q);\quad \overrightarrow{AC}=2\vec p+\vec q,\ \overrightarrow{AD}=2\vec p+2\vec q.\)
\(\overrightarrow{AB}=(-3;7).\)
\(3\vec a=(6;15),\quad -2{,}5\vec a=(-5;-12{,}5).\)
а) \((2;-1)\); б) \((-1;6)\); в) \((0;0)\); г) \((13;4).\)
\(B(5;-3).\)
\(|\vec a|=5,\quad -\vec a=(3;-4).\)
а) \((-1;-2)\); б) \((11;-6).\)
а) \(\sqrt5\); б) \(\sqrt{157}.\)
