Реши задание на изображении

При значениях переменных, при которых знаменатели не равны нулю:

Верхние примеры

\[ 1)\ \frac{a^2x^2}{5b^3} \qquad 2)\ y(x-y) \]

\[ 3)\ \frac{a(a+b)}{3b} \qquad 4)\ -\frac{2}{m} \]

Возведение в степень

\[ \text{а)}\ \frac{16a^4}{p^8q^{12}} \qquad \text{б)}\ \frac{9a^4b^6}{s^8} \]

\[ \text{в)}\ \frac{4a^4b^2}{9m^2n^6} \qquad \text{г)}\ \frac{27x^6}{8y^9} \]

Как это получается

1. При умножении дробей числители перемножаются, знаменатели тоже. Затем одинаковые множители сокращаются.

В №1: \[ \frac{2\cdot3\cdot6}{3\cdot4\cdot15}=\frac15, \] а по буквам остаётся \[ \frac{a^2x^2}{b^3}. \] То есть: \[ \frac{2a^2b}{3xy}\cdot \frac{3x^2y}{4ab^2}\cdot \frac{6ax}{15b^2} =\frac{a^2x^2}{5b^3}. \]

2. В №2 сначала раскладываем на множители: \[ x^2-xy=x(x-y). \] Тогда \[ \frac{x(x-y)}{y}\cdot \frac{y^2}{x}=y(x-y). \]

3. В №3: \[ ab+b^2=b(a+b), \] поэтому \[ \frac{3a}{b^2}\cdot\frac{b(a+b)}{9} =\frac{a(a+b)}{3b}. \]

4. В №4 важно заметить, что \[ mn-m^2=-m(m-n). \] Поэтому \[ \frac{m-n}{mn}\cdot\frac{2mn}{mn-m^2} =\frac{m-n}{mn}\cdot\frac{2mn}{-m(m-n)} =-\frac{2}{m}. \] В этом номере дополнительно \(m\ne n\).

Возведение в степень

Правило: \[ \left(\frac AB\right)^n=\frac{A^n}{B^n},\qquad (x^k)^n=x^{kn}. \] Поэтому, например, \[ \left(\frac{2a}{p^2q^3}\right)^4 =\frac{16a^4}{p^8q^{12}}. \] Аналогично возводим в степень числитель и знаменатель, а показатели каждой буквы умножаем на степень.

Проверка примеров:
В №1 при \(a=b=x=y=1\) исходное выражение даёт \(\frac15\), и формула тоже даёт \(\frac15\).
В №4 при \(m=2,\ n=3\) исходное выражение даёт \(-1\), и \(-\frac2m=-1\).