70
Краткий ответ:
а) \(\angle 1=\angle 3=70^\circ,\quad \angle 2=\angle 4=110^\circ\);
б) \(\angle 1=\angle 3=45^\circ,\quad \angle 2=\angle 4=135^\circ\);
в) \(\angle 1=\angle 3=75^\circ,\quad \angle 2=\angle 4=105^\circ\).
Как рассуждать
На пересечении двух прямых:
- вертикальные углы равны: \(\angle1=\angle3\), \(\angle2=\angle4\);
- смежные углы в сумме дают \(180^\circ\): например, \(\angle1+\angle2=180^\circ\).
а)
\(\angle2+\angle4=220^\circ\), а \(\angle2=\angle4\), поэтому
\[ \angle2=\angle4=110^\circ. \]
Тогда
\[ \angle1=180^\circ-110^\circ=70^\circ, \]
значит, \(\angle3=70^\circ\).
б)
Обозначим \(\angle1=\angle3=x\), \(\angle2=\angle4=y\). Тогда
\[ 3(x+x)=y+y, \]
то есть
\[ 6x=2y \Rightarrow y=3x. \]
Так как \(\angle1\) и \(\angle2\) смежные:
\[ x+y=180^\circ. \]
Подставляем \(y=3x\):
\[ x+3x=180^\circ \Rightarrow 4x=180^\circ \Rightarrow x=45^\circ. \]
Тогда
\[ y=3\cdot45^\circ=135^\circ. \]
в)
По условию \(\angle2-\angle1=30^\circ\), а так как углы смежные:
\[ \angle1+\angle2=180^\circ. \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} \angle2-\angle1=30^\circ,\\ \angle2+\angle1=180^\circ. \end{cases} \]
Сложим уравнения:
\[ 2\angle2=210^\circ \Rightarrow \angle2=105^\circ. \]
Тогда
\[ \angle1=180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]
Следовательно, \(\angle3=75^\circ\), \(\angle4=105^\circ\).
Проверка: сумма всех четырёх углов в каждом случае равна \(360^\circ\).
Обсуждение
4 сообщенияКак мы наши 110
В пункте а) дана сумма:
\[ \angle 2+\angle 4=220^\circ. \]
Углы \(\angle 2\) и \(\angle 4\) — вертикальные, поэтому они равны:
\[ \angle 2=\angle 4. \]
Обозначим каждый из них через \(x\). Тогда:
\[ x+x=220^\circ \]
\[ 2x=220^\circ \]
\[ x=220^\circ:2=110^\circ. \]
Значит,
\[ \angle 2=110^\circ,\qquad \angle 4=110^\circ. \]
Дальше \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, их сумма \(180^\circ\):
\[ \angle 1=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]
А \(\angle 3=\angle 1\) как вертикальный, поэтому
\[ \angle 3=70^\circ. \]
То есть 110° получили потому, что сумма двух равных вертикальных углов равна 220°, значит каждый равен половине: \(220^\circ:2=110^\circ\).
Почему 1 и 3 углы вертикальные ?
Потому что ∠1 и ∠3 расположены друг напротив друга при пересечении двух прямых. Такие углы называются вертикальными: стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Почему они равны:
\[ \angle1+\angle2=180^\circ \]
как смежные, и
\[ \angle3+\angle2=180^\circ \]
тоже как смежные. Значит,
\[ \angle1=180^\circ-\angle2,\qquad \angle3=180^\circ-\angle2. \]
Поэтому
\[ \angle1=\angle3. \]
То есть ∠1 и ∠3 вертикальные потому, что они стоят друг против друга, а вертикальные углы всегда равны.
Если на рисунке ∠1 и ∠3 расположены рядом, а не напротив друг друга, то они не вертикальные — тогда покажи рисунок, и я уточню, какие углы там равны.
