Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

x₁ = 2, x₂ = 3. Уравнение имеет два корня.

Как это устроено

Шаг 1. Замечаем закономерность. Свободный член равен 6, а коэффициент при x равен −5. Попробуем разложить на множители: ищем два числа, у которых

• произведение равно 6,
• сумма равна 5.

Шаг 2. Подбираем пару. Выпишем, как получить 6 умножением:

• 1 · 6 = 6, но 1 + 6 = 7 ≠ 5 — не подходит;
• 2 · 3 = 6, и 2 + 3 = 5 — подходит!

Значит, выражение раскладывается так:

\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\]

Шаг 3. Используем правило нуля. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \qquad\text{или}\qquad x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\]

Проверка

Подставим каждый корень в исходное уравнение.

При x = 2: 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓

При x = 3: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓

Оба раза получился ноль — корни найдены верно.

Главная идея (пригодится в похожих заданиях)

Если уравнение записано в виде x² − (a + b)·x + a·b = 0, то его корни — это сами числа a и b. То есть достаточно найти два числа по их сумме и произведению:

Уравнение	Произведение	Сумма	Корни
x² − 5x + 6 = 0	6	5	2 и 3
x² − 7x + 12 = 0	12	7	3 и 4

Способ работает, когда корни — целые числа; если подобрать пару не удаётся, уравнение решают через дискриминант (это уже программа старших классов).