Сделай задания 666,637,639,661
Краткие ответы
666. \(\sqrt{14}\)
637.
а) \(Ox:\ C\);
б) \(Oy:\ E\);
в) \(Oz:\ B\);
г) \(Oxy:\ A,C,E,H\);
д) \(Oyz:\ B,E,G\);
е) \(Oxz:\ B,C,D\).
639.
\[
C(0;1;1),\quad B_1(1;0;1),\quad C_1(1;1;1),\quad D_1(1;1;0).
\]
661.
а) \(M(-1;\tfrac52;-2)\);
б) \(B(-8;4;-19)\);
в) \(A(-24;8;28)\).
Как решать
666
Середина отрезка находится по формуле: \[ P\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right). \] Для \(M(-4;7;0)\) и \(N(0;-1;2)\): \[ P\left(\frac{-4+0}{2};\frac{7-1}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(-2;3;1). \] Расстояние от начала координат \(O(0;0;0)\): \[ OP=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}. \]
637
Правила:
- на оси \(Ox\): \(y=0,\ z=0\);
- на оси \(Oy\): \(x=0,\ z=0\);
- на оси \(Oz\): \(x=0,\ y=0\);
- в плоскости \(Oxy\): \(z=0\);
- в плоскости \(Oyz\): \(x=0\);
- в плоскости \(Oxz\): \(y=0\).
Поэтому:
| Где лежит точка | Условие | Точки |
|---|---|---|
| ось \(Ox\) | \(y=0,z=0\) | \(C\) |
| ось \(Oy\) | \(x=0,z=0\) | \(E\) |
| ось \(Oz\) | \(x=0,y=0\) | \(B\) |
| плоскость \(Oxy\) | \(z=0\) | \(A,C,E,H\) |
| плоскость \(Oyz\) | \(x=0\) | \(B,E,G\) |
| плоскость \(Oxz\) | \(y=0\) | \(B,C,D\) |
639
Векторы рёбер куба: \[ \overrightarrow{AB}=(0;0;1),\quad \overrightarrow{AD}=(0;1;0),\quad \overrightarrow{AA_1}=(1;0;0). \] В кубе противоположные вершины получаются прибавлением соответствующих рёбер.
\[ C=B+\overrightarrow{AD}=(0;1;1), \] \[ B_1=B+\overrightarrow{AA_1}=(1;0;1), \] \[ D_1=D+\overrightarrow{AA_1}=(1;1;0), \] \[ C_1=C+\overrightarrow{AA_1}=(1;1;1). \]
661
Если \(M\) — середина \(AB\), то: \[ M=\frac{A+B}{2}. \] Отсюда можно находить неизвестный конец: \[ B=2M-A,\qquad A=2M-B. \]
а) \[ M\left(\frac{0-2}{2};\frac{3+2}{2};\frac{-4+0}{2}\right) =\left(-1;\frac52;-2\right). \]
б) \[ B=2(3;-2;-7)-(14;-8;5) =(-8;4;-19). \]
Проверка: \[ \frac{(14;-8;5)+(-8;4;-19)}{2}=(3;-2;-7). \]
в) \[ A=2(-12;4;15)-(0;0;2) =(-24;8;28). \]
Обсуждение
2 сообщенияПодробнее напиши как решается задание 661
Задание 661: подробное решение
Во всех пунктах используется формула середины отрезка.
Если \(A(x_A;y_A;z_A)\), а \(B(x_B;y_B;z_B)\), то середина \(M\) имеет координаты:
\[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right). \]
То есть каждая координата середины — это среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка.
Если известны середина \(M\) и один конец, то второй конец находим так:
\[ x_B=2x_M-x_A,\qquad y_B=2y_M-y_A,\qquad z_B=2z_M-z_A. \]
Или наоборот:
\[ x_A=2x_M-x_B. \]
а) \(A(0;3;-4)\), \(B(-2;2;0)\). Найдите \(M\).
Считаем каждую координату отдельно.
\[ x_M=\frac{0+(-2)}{2}=\frac{-2}{2}=-1. \]
\[ y_M=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5. \]
\[ z_M=\frac{-4+0}{2}=\frac{-4}{2}=-2. \]
Значит,
\[ M(-1;2{,}5;-2). \]
Можно записать \(2{,}5\) в виде дроби:
\[ M\left(-1;\frac52;-2\right). \]
Проверка: середина между \(A\) и \(B\) должна быть на одинаковом расстоянии от них. Вектор от \(A\) до \(M\):
\[ \overrightarrow{AM}=(-1-0;\ 2{,}5-3;\ -2-(-4)) =(-1;\ -0{,}5;\ 2). \]
Вектор от \(M\) до \(B\):
\[ \overrightarrow{MB}=(-2-(-1);\ 2-2{,}5;\ 0-(-2)) =(-1;\ -0{,}5;\ 2). \]
Векторы равны, значит \(M\) действительно середина.
Ответ:
\[
M\left(-1;\frac52;-2\right).
\]
б) \(M(3;-2;-7)\) — середина \(AB\), \(A(14;-8;5)\). Найдите \(B\).
Пусть \(B(x;y;z)\). По формуле середины:
\[ 3=\frac{14+x}{2},\qquad -2=\frac{-8+y}{2},\qquad -7=\frac{5+z}{2}. \]
Решаем каждое уравнение.
Координата \(x\)
\[ 3=\frac{14+x}{2}. \]
Умножаем обе части на 2:
\[ 6=14+x. \]
Значит,
\[ x=6-14=-8. \]
Координата \(y\)
\[ -2=\frac{-8+y}{2}. \]
Умножаем на 2:
\[ -4=-8+y. \]
Значит,
\[ y=-4+8=4. \]
Координата \(z\)
\[ -7=\frac{5+z}{2}. \]
Умножаем на 2:
\[ -14=5+z. \]
Значит,
\[ z=-14-5=-19. \]
Получаем:
\[ B(-8;4;-19). \]
Можно было сразу записать формулой:
\[ B=2M-A=2(3;-2;-7)-(14;-8;5). \]
\[ 2M=(6;-4;-14). \]
Тогда
\[ B=(6-14;\ -4-(-8);\ -14-5) =(-8;4;-19). \]
Проверка:
\[ M\left(\frac{14+(-8)}{2};\frac{-8+4}{2};\frac{5+(-19)}{2}\right) =(3;-2;-7). \]
Всё сходится.
Ответ:
\[
B(-8;4;-19).
\]
в) \(M(-12;4;15)\) — середина \(AB\), \(B(0;0;2)\). Найдите \(A\).
Пусть \(A(x;y;z)\). Так как \(M\) — середина \(AB\), то:
\[ -12=\frac{x+0}{2},\qquad 4=\frac{y+0}{2},\qquad 15=\frac{z+2}{2}. \]
Координата \(x\)
\[ -12=\frac{x}{2}. \]
Умножаем на 2:
\[ x=-24. \]
Координата \(y\)
\[ 4=\frac{y}{2}. \]
Значит,
\[ y=8. \]
Координата \(z\)
\[ 15=\frac{z+2}{2}. \]
Умножаем на 2:
\[ 30=z+2. \]
Значит,
\[ z=30-2=28. \]
Получаем:
\[ A(-24;8;28). \]
Можно через формулу:
\[ A=2M-B=2(-12;4;15)-(0;0;2). \]
\[ 2M=(-24;8;30). \]
Тогда
\[ A=(-24-0;\ 8-0;\ 30-2)=(-24;8;28). \]
Проверка:
\[ M\left(\frac{-24+0}{2};\frac{8+0}{2};\frac{28+2}{2}\right) =(-12;4;15). \]
Верно.
Ответ:
\[
A(-24;8;28).
\]
Итог по заданию 661
\[ \boxed{\text{а) }M\left(-1;\frac52;-2\right)} \]
\[ \boxed{\text{б) }B(-8;4;-19)} \]
\[ \boxed{\text{в) }A(-24;8;28)} \]
Главное правило: координаты середины — это полусуммы координат концов отрезка. Если известна середина, то неизвестный конец находится через \(2M\) минус известный конец.
