Задача Задача №3761251
А
А
зделай номер 182
Краткий ответ:
а) \(1\); б) \(2\); в) \(2\); г) \(1\); д) \(6\); е) \(10\); ж) \(16\); з) \(16\); и) \(11\); к) \(17\).
Все полученные числа — целые, а значит, рациональные.
Как рассуждать. Используем формулы: \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \] \[ (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2. \] Корни при возведении в квадрат дают целое число, а «лишние» корни в суммах сокращаются.
| Пункт | Вычисление | Ответ |
|---|---|---|
| а | \((\sqrt2)^2-1^2=2-1\) | \(1\) |
| б | \((\sqrt3)^2-1^2=3-1\) | \(2\) |
| в | \((\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2=5-3\) | \(2\) |
| г | \((\sqrt6)^2-(\sqrt5)^2=6-5\) | \(1\) |
| д | \((3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)\) | \(6\) |
| е | \((5+2\sqrt6)+(5-2\sqrt6)\) | \(10\) |
| ж | \((8-2\sqrt7)+(8+2\sqrt7)\) | \(16\) |
| з | \((8-2\sqrt{15})+(8+2\sqrt{15})\) | \(16\) |
| и | \((11-4\sqrt7)+4\sqrt7\) | \(11\) |
| к | \((17+6\sqrt8)-6\sqrt8\) | \(17\) |
Проверка для пунктов д–з: можно пользоваться формулой \[ (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2). \] Например, в пункте е: \[ 2\big((\sqrt3)^2+(\sqrt2)^2\big)=2(3+2)=10. \]
