Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)
б) \((-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)
в) \([-2;1]\)
г) \([2;3)\)
Как рассуждать
а)
\[
y=\frac{x^2+4}{2x},\quad x\ne0
\]
Умножим на \(2x\):
\[
x^2-2yx+4=0
\]
Чтобы существовало действительное \(x\), нужен неотрицательный дискриминант:
\[
D=4y^2-16\ge0
\]
\[
y^2\ge4
\]
Значит,
\[
y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge2
\]
Оба конца достигаются: при \(x=2\) получаем \(y=2\), при \(x=-2\) получаем \(y=-2\).
б)
Выделим целую часть:
\[
\frac{3x-1}{x-2}=3+\frac{5}{x-2}
\]
Так как \(x\ne2\), дробь \(\frac{5}{x-2}\) может принимать любое значение, кроме \(0\). Поэтому \(3+\frac{5}{x-2}\) принимает все значения, кроме \(3\):
\[
(-\infty;3)\cup(3;+\infty)
\]
в)
Сначала область определения:
\[
9-|x-2|\ge0
\]
То есть
\[
|x-2|\le9
\]
При этом выражение \(9-|x-2|\) принимает значения от \(0\) до \(9\). Значит,
\[
0\le\sqrt{9-|x-2|}\le3
\]
Тогда
\[
-2\le 1-\sqrt{9-|x-2|}\le1
\]
То есть область значений:
\[
[-2;1]
\]
При \(x=2\) получаем \(-2\), при \(x=11\) или \(x=-7\) получаем \(1\).
г)
Здесь \(x\ge2\). Обозначим
\[
t=\sqrt{x-2},\quad t\ge0
\]
Тогда
\[
f(x)=3-\frac{1}{t+1}
\]
Так как \(t+1\ge1\), то
\[
0<\frac{1}{t+1}\le1
\]
Следовательно,
\[
2\le 3-\frac{1}{t+1}<3
\]
Область значений:
\[
[2;3)
\]
Число \(2\) достигается при \(x=2\), а \(3\) не достигается никогда.
