Реши задание на изображении

По видимой части страницы (№151–157) ответы:

151. 1) \(4\); 2) \(49\); 3) \(8\); 4) \(-27\); 5) \(\frac13\); 6) \(1\); 7) \(2\).

152. 1) \(26\); 2) \(27\); 3) \(\dfrac{5+\sqrt{73}}8\).

153. 1) \(-1\); 2) \(-7\); 3) \(-\frac13;\ 3\).

154. 1) \(0\); 2) \(5\); 3) \(1\); 4) \(-3;\ 4\).

155. 1) \(16\); 2) \(4\); 3) \(5\); 4) \(-1\).

156. 1) \(49\); 2) \(5\); 3) \(1\); 4) \(-3;\ 1\).

157. 1) решений нет; 2) \(-1;\ 0;\ 1\).

Как рассуждать

1. Корень чётной степени \(\sqrt{A}\), \(\sqrt[4]{A}\) существует только при \(A\ge0\), и сам он неотрицателен. Поэтому после возведения в квадрат или четвёртую степень обязательна проверка или учёт условий.

2. Корень нечётной степени \(\sqrt[3]{A}\) существует при любом \(A\), и возведение в куб посторонних корней не даёт.

3. Если есть \(\sqrt{x}\), удобна замена \(t=\sqrt{x}\ge0\).

4. Сумма неотрицательных корней равна нулю только тогда, когда каждый корень равен нулю.

Примеры ключевых шагов

155(3): \[ \sqrt{x-1}=x-3. \] Правая часть должна быть неотрицательной, значит \(x\ge3\). Возводим в квадрат: \[ x-1=(x-3)^2=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=5. \] Корень \(x=2\) не подходит, так как \(2<3\). Ответ: \(5\).

156(1): \[ \sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}. \] После возведения в квадрат: \[ 2x-34=1+2\sqrt{x}+x \Rightarrow x-35=2\sqrt{x}. \] Замена \(t=\sqrt{x}\ge0\): \[ t^2-2t-35=0 \Rightarrow t=7 \text{ или } t=-5. \] Отрицательное \(t\) не подходит, значит \(\sqrt{x}=7\), \(x=49\).

152(3): \[ \sqrt[4]{4+x}=\sqrt{2x-1}, \quad x\ge\frac12. \] Возводим в квадрат: \[ \sqrt{4+x}=2x-1. \] Затем ещё раз в квадрат: \[ 4+x=(2x-1)^2, \] \[ 4x^2-5x-3=0, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{73}}8. \] Корень \(\frac{5-\sqrt{73}}8<0\), он не подходит. Ответ: \(\frac{5+\sqrt{73}}8\).

В 157(1) первое подкоренное выражение \(x^2+2>0\), поэтому левая часть не может равняться нулю — корней нет.