Реши задание на изображении

На фото несколько номеров. Ниже — ответы для всех полностью читаемых уравнений. В 152(3) и 153(3) обрезан правый край, поэтому их без продолжения страницы решить нельзя. В 156(2) читаю уравнение как \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\).

Ответы

151.

1. \(4\); 2) \(49\); 3) \(8\); 4) \(-27\);
2. \(\frac13\); 6) \(1\); 7) \(2\).

152.

1. \(8\); 2) \(27\); 3) нужен полный вид правой части.

153.

1. \(-1\); 2) \(-7\); 3) нужен полный вид правой части.

154.

1. \(0\); 2) \(5\); 3) \(1\); 4) \(-3;\ 4\).

155.

1. \(16\); 2) \(4\); 3) \(5\); 4) \(-1\).

156.

1. \(49\); 2) \(5\); 3) \(1\); 4) \(-3;\ 1\).

157.

1. нет действительных корней; 2) \(-1;\ 0;\ 1\).

Как это решать

Главное правило: если возводишь обе части уравнения с корнем в чётную степень, обязательна проверка — могут появиться посторонние корни. При возведении в нечётную степень посторонних корней не возникает.

Например:

\[ \sqrt[3]{x}=-3 \quad\Rightarrow\quad x=(-3)^3=-27. \]

Кубический корень может быть отрицательным, поэтому ответ отрицательный.

Разберём уравнение:

\[ \sqrt{x-1}=x-3. \]

Правая часть должна быть неотрицательной:

\[ x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3. \]

Возводим в квадрат:

\[ x-1=(x-3)^2, \]

\[ x-1=x^2-6x+9, \]

\[ x^2-7x+10=0, \]

\[ (x-2)(x-5)=0. \]

Получаем \(x=2\) или \(x=5\). Но \(x=2\) не подходит, потому что должно быть \(x\ge 3\). Остаётся:

\[ x=5. \]

Проверка: \(\sqrt{5-1}=2\), справа \(5-3=2\). Верно.

Ещё важный случай:

\[ \sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^3+x^2}=0. \]

Сумма двух квадратных корней равна нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю. Но \(x^2+2>0\) при любом \(x\), значит, корней нет.